Question

已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為A（0，-1），焦點(diǎn)在x軸上，其右焦點(diǎn)到直線(xiàn)x-y+2

2

=0的距離為3．
（1）求橢圓的方程；
（2）直線(xiàn)y=

3

3

x+1與橢圓交于P、N兩點(diǎn)，求|PN|．

Answer 1

分析：（1）由題意設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．由題設(shè)條件知c=

2

，a=

3

．由此可知橢圓方程為

x2

3

+y²=1．
（2）設(shè)直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)為P（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），則

y= 3 3 x+1 x2 3 +y2=1

，解得直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)為P（0，1），N（-

3

，0）．
由此可知PN|=

( 3 )2+12

=2．

解答：解：（1）由題意設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
∵b=1，又設(shè)右焦點(diǎn)F為（c，0），
則

|c+2 2 |

2

=3，解得c=

2

，∴a=

3

．
∴橢圓方程為

x2

3

+y²=1．
（2）設(shè)直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)為P（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
則

y= 3 3 x+1 x2 3 +y2=1

解方程組得

x1=0 y1=1

解

x2=- 3 y2=0

∴直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)為P（0，1），N（-

3

，0）．
∴|PN|=

( 3 )2+12

=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)和橢圓的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．