已知函數(shù)f(x)=lnx+a(x2-x)
(1)若a=-1,求證f(x)有且僅有一個零點(diǎn);
(2)若對于x∈[1,2],函數(shù)f(x)圖象上任意一點(diǎn)處的切線的傾斜角都不大于
π
4
,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)若f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
(1)證明:f(x)=lnx-x2+x(x>0),f′(x)=
1
x
-2x+1=
-(x-1)(2x+1)
x

令f'(x)=0,得x=1,
令f'(x)>0,∵x>0,∴0<x<1;令f'(x)<0,
∵x>0,∴x>1,
∴f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減.
∴f(x)最大值=f(1)=0,
∴f(x)有且僅有一個零點(diǎn),該零點(diǎn)即為1.---------(4分)
(2)f′(x)=
2ax2-ax+1
x
,由已知,0≤f'(x)≤1在x∈[1,2]上恒成立.---------(6分)
由f'(x)≤1在x∈[1,2]上恒成立,可得a≤(
x-1
2x2-x
)min=0

由f'(x)≥0在x∈[1,2]上恒成立,可得a≥(
-1
2x2-x
)max=-
1
6

-
1
6
≤a≤0
-------------------(10分)
(3)f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,等價于f′(x)=
2ax2-ax+1
x
<0
在(0,+∞)上有解,即2ax2-ax+1<0在(0,+∞)上有解
記g(x)=2ax2-ax+1,x∈(0,+∞)
當(dāng)a=0時,g(x)=1,不滿足條件;
當(dāng)a<0時,g(x)為開口向下的二次函數(shù),2ax2-ax+1<0在(0,+∞)上恒有解;
當(dāng)a>0時,g(x)為開口向上的二次函數(shù),對稱軸為x=
1
4
,2ax2-ax+1<0在(0,+∞)上有解,只需g(x)min>0,即g(
1
4
)>0
,解得a>8
綜上所述,a的取值范圍為(-∞,0)∪(8,+∞)
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A.-3B.3C.6D.9

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已知
lim
x→4
f(x)-f(4)
x-4
=-2
,則
lim
t→0
f(4-t)-f(4)
2t
=(  )
A.4B.-4C.1D.-1

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A.2B.-2C.
1
2
D.-
1
2

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π
2
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函數(shù)f(x)=
x4
4
-
x3
3
的極值點(diǎn)為( 。
A.0B.-1C.0或1D.1

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1
12
x3
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k
x
,生產(chǎn)1件這樣的產(chǎn)品單價為16萬元.
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