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函數f（x）定義域為R，且對任意x、y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）恒成立．則下列選項中不恒成立的是


  1. A.
    f（0）=0
  2. B.
    f（2）=2f（1）
  3. C.
    f（數學公式）=數學公式f（1）
  4. D.
    f（-x）f（x）＜0
D
分析：令x=y=0，得到A成立；令x=y=1，得到B成立；令x=y=，得到C成立；令x=-y，得到D不成立．
解答：函數f（x）定義域為R，且對任意x、y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）恒成立，
令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0，故A成立；
令x=y=1，得f（2）=f（1）+f（1）=2f（1），故B成立；
令x=y=，得f（1）=f（）+f（）=2f（），∴f（）=，故C成立；
令x=-y，得f（0）=f（x）+f（-x）=0，∴f（-x）f（x）≤0，故D不成立．
故選D．
點評：本題考查抽象函數的性質和應用，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）定義域為R+，且滿足條件f（x）=f（
1x
）•lgx+1，求f（x）的表達式．

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已知函數f（x）定義域為實數R，對任意的實數x、y，都有f（x+y）=f（x）+f（y），又當x＞0時，f（x）＜0且f（2）=-1．
（1）判斷f（x）的奇偶性．
（2）判斷f（x）在R上的單調性．
（3）求f（x）在[-6，6]的最值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）定義域為（0，+∞），且滿足2f（x）+f（
1
x
）=(2x-
1
x
)lnx．
（Ⅰ）求f（x）解析式及最小值；
（Ⅱ）求證：?x∈（0，+∞），
x+1
ex
＜1．
（Ⅲ）設g（x）=
x+f(x)
xex
，h（x）=（x2+x）g′（x）．求證：：?x∈（0，+∞），h（x）＜
4
3
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）定義域為R，ab∈R總有
f(a)-f(b)a-b
＞0（a≠b），若f（m+1）＞f（2m），則實數m的取值范圍是
m＜1
m＜1
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

若函數f（x）定義域為R，且圖象關于原點對稱．當x＞0時，f（x）=x3-2．則函數f（x+2）的所有零點之和為
-6
-6
．

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