Question

已知定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）為單調(diào)函數(shù)，且f（x）•f（f（x）+

2

x

）=2，則f（1）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的值

專題：

分析：由題意，令x=1求得f（1）的取值范圍，
設(shè)f（1）=a，表示f（a+2）=

2

a

…①；
令x=a+2，得f（a+2）•f（f（a+2）+

2

a+2

）=2…②；
由①、②得f（

2

a

+

2

a+2

）=a …③；
即f（

2

a

+

2

a+2

）=f（1），得

2

a

+

2

a+2

=1，從而求出a即f（1）的值．

解答： 解：∵f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
∴當(dāng)x=1時(shí)，f（1）•f（f（1）+2）=2，
∴f（f（1）+2）=

2

f(1)

；
f（1）+2作為f（f（1）+2）的自變量的一個(gè)取值，它必須在定義域內(nèi)，
∴f（1）+2＞0，
即f（1）＞-2；
設(shè)f（1）=a，（其中a＞-2），
∴f（a+2）=

2

a

…①；
令x=a+2（其中a＞-2），
代入f（x）•f（f（x）+

2

x

）=2中，
得f（a+2）•f（f（a+2）+

2

a+2

）=2…②；
把①代入②，得

2

a

•f（

2

a

+

2

a+2

）=2，
即f（

2

a

+

2

a+2

）=a …③；
∵a=f（1），
∴f（

2

a

+

2

a+2

）=f（1）；
把

2

a

+

2

a+2

和 1 分別看作函數(shù)f（x）的自變量的2個(gè)取值，
由于函數(shù)f（x）是單調(diào)函數(shù)，要使對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等，自變量必須相等；
即

2

a

+

2

a+2

=1，
解得a=1+

5

或a=1-

5

；
∵1+

5

和1-

5

都大于-2，
∴兩個(gè)數(shù)值都符合題意；
綜上，f（1）=1+

5

或 f（1）=1-

5

；
故答案為：1±

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性與解析式求函數(shù)值的問題，是較難的題目．