Question

15．圓x²+y²=16的切線與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點，則|AB|最小值為8．

Answer 1

分析 設(shè)直線的方程為bx+ay-ab=0，由直線和圓相切可得a²b²=16（a²+b²），由基本不等式可得$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$的最小值，即得答案．

解答 解：由題意設(shè)直線的方程為：$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1，即bx+ay-ab=0，
∵圓心（0，0）到的距離為半徑4，
∴$\frac{|ab|}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}}}$=4，平方整理可得a²b²=16（a²+b²），
由基本不等式可得16（a²+b²）=a²b²≤（$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}$）²，
∴解不等式可得|AB|=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$≥8，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=4$\sqrt{2}$時等號成立，
故答案為：8．

點評 本題考查圓的切線，涉及點到直線的距離公式和基本不等式求最值，屬中檔題．