Question

在△ABC中，已知內(nèi)角A=

π

3

，邊BC=2

3

，設內(nèi)角B=x，周長為y
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式和定義域；
（2）求y的最大值．

Answer 1

分析：（1）由內(nèi)角A=

π

3

，邊BC=2

3

，設內(nèi)角B=x，周長為y，我們結(jié)合三角形的性質(zhì)，△ABC的內(nèi)角和A+B+C=π，△ABC的周長y=AB+BC+AC，我們可以結(jié)合正弦定理求出函數(shù)的解析式，及自變量的取值范圍．
（2）要求三角函數(shù)的最值，我們要利用輔助角公式，將函數(shù)的解析式，化為正弦型函數(shù)的形式，再根據(jù)正弦型函數(shù)的最值的求法進行求解．

解答：解：（1）△ABC的內(nèi)角和A+B+C=π，
由A=

π

3

，B＞0，C＞0得
0＜B＜

2π

3

．
應用正弦定理，知
AC=

BC

sinA

sinB=

2 3

sin π 3

sinx=4sinx，
AB=

BC

sinA

sinC=4sin(

2π

3

-x)．
因為y=AB+BC+AC，
所以y=4sinx+4sin(

2π

3

-x)+2

3

(0＜x＜

2π

3

)，
（2）∵y=4(sinx+

3

2

cosx+

1

2

sinx)+2

3

=4

3

sin(x+

π

6

)+2

3

(

π

6

＜x+

π

6

＜

5π

6

)，
所以，當x+

π

6

=

π

2

，
即x=

π

3

時，
y取得最大值6

3

．

點評：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）中，最大值或最小值由A確定，由周期由ω決定，即要求三角函數(shù)的周期與最值一般是要將其函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)，再根據(jù)最大值為|A|，最小值為-|A|，周期T=

2π

ω

進行求解．