Question

若z∈C，且1+z+z²=0，則1+z+z²+…+z¹⁰⁰=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算

專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

分析：利用求根公式求出z，再由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和化簡，代入z后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡．

解答： 解：由1+z+z²=0，得z=

-1± 3 i

2

，∴z³=1，
則1+z+z²+…+z¹⁰⁰=

1-z101

1-z

=

1-(z3)33•z2

1-z

=

1-z2

1-z

．
當(dāng)z=-

1

2

+

3

2

i 時(shí)，z2=(-

1

2

+

3

2

i)2=

1

4

-

3

2

i-

3

4

=-

1

2

-

3

2

i，
1+z+z²+…+z¹⁰⁰=

1+ 1 2 + 3 2 i

1+ 1 2 - 3 2 i

=

3+ 3 i

3- 3 i

=

(3+ 3 i)2

(3- 3 i)(3+ 3 i)

=

1

2

+

3

2

i；
當(dāng)z=-

1

2

-

3

2

i時(shí)，z2=(-

1

2

-

3

2

i)2=-

1

2

+

3

2

i，
1+z+z²+…+z¹⁰⁰=

1+ 1 2 - 3 2 i

1+ 1 2 + 3 2 i

=

3- 3 i

3+ 3 i

=

(3- 3 i)2

(3+ 3 i)(3- 3 i)

=-

1

2

-

3

2

i．
故答案為：-

1

2

±

3

2

i．

點(diǎn)評：本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算，考查了實(shí)系數(shù)一元二次方程的虛根成對原理，是基礎(chǔ)題．