Question

2．設△ABC的角A、B、C的對邊長分別為a，b，c，P是△ABC所在平面上的一點，$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=$\frac{c}$$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$+$\frac{b-c}$$\overrightarrow{PA}$²=$\frac{c}{a}$$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$+$\frac{a-c}{a}$$\overrightarrow{PB}$²，則點P是△ABC的（　�。�

• A． 重心
• B． 外心
• C． 內心
• D． 垂心

Answer 1

分析 利用向量的減法及數量積公式，確定AP是∠BAC的平分線，BP是∠ABC的平分線，即可得出結論．

解答 解：因為$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=$\frac{c}$$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$+$\frac{b-c}$$\overrightarrow{PA}$²=$\frac{c}{a}$$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$+$\frac{a-c}{a}$$\overrightarrow{PB}$²，
所以$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$-$\overrightarrow{PA}$²=$\frac{c}$$\overrightarrow{PA}$•（$\overrightarrow{PC}$-$\overrightarrow{PA}$），$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$-$\overrightarrow{PB}$²=$\frac{c}{a}$$\overrightarrow{PB}$•（$\overrightarrow{PC}$-$\overrightarrow{PB}$），
所以$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{AB}$=$\frac{c}$$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{PB}$=$\frac{c}{a}$$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{BC}$，
所以|$\overrightarrow{PA}$|c•cos∠PAB=$\frac{c}$|$\overrightarrow{PA}$|bcos∠PAC，|$\overrightarrow{PB}$|c•cos∠PBA=$\frac{c}{a}$|$\overrightarrow{PB}$|acos∠PBC
所以∠PAB=∠PAC，∠PBA=∠PBC，
所以AP是∠BAC的平分線，BP是∠ABC的平分線，
所以點P是△ABC的內心，
故選：C．

點評 本題考查向量知識的運用，考查數量積公式，考查三角形的內心，屬于中檔題．