Question

已知函數(shù)f（x）=x²，g（x）=x-1．
（1）若?x∈R使f（x）＜b•g（x），求實數(shù)b的取值范圍；
（2）設(shè)F（x）=f（x）-mg（x）+1-m-m²，且|F（x）|在[0，1]上單調(diào)遞增，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把?x∈R使f（x）＜b•g（x），轉(zhuǎn)化為?x∈R，x²-bx+b＜0，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)得△=（-b）²-4b＞0，解出實數(shù)b的取值范圍；
（2）先求得F（x）=x²-mx+1-m²，再對其對應(yīng)方程的判別式分△≤0和當△＞0兩種情況，分別找到滿足|F（x）|在[0，1]上單調(diào)遞增的實數(shù)m的取值范圍，最后綜合即可．

解答：解：（1）由?x∈R，f（x）＜b•g（x），得?x∈R，x²-bx+b＜0，
∴△=（-b）²-4b＞0，解得b＜0或b＞4，
∴實數(shù)b的取值范圍是（-∞，0）∪（4，+∞）；
（2）由題設(shè)得F（x）=x²-mx+1-m²，
對稱軸方程為x=

m

2

，△=m²-4（1-m²）=5m²-4，
由于|F（x）|在[0，1]上單調(diào)遞增，則有：
 ①當△≤0即-

2 5

5

＜m＜

2 5

5

時，有

m 2 ≤0 - 2 5 5 ≤m≤ 2 5 5

，解得-

2 5

5

≤m≤0，
 ②當△＞0即m＜-

2 5

5

或m＞

2 5

5

時，設(shè)方程F（x）=0的根為x₁，x₂（x₁＜x₂），
若m＞

2 5

5

，則

m

2

＞

5

5

，有

m/2≥1 x1＜0?F(0)=1-m2＜0.

解得m≥2；
若m＜-

2 5

5

，即

m

2

＜-

5

5

，有x₁＜0，x₂≤0；得F（0）=1-m²≥0，有-1≤m≤1，
∴-1≤m＜-

2 5

5

；
綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是[-1，0]∪[2，+∞）．

點評：本題的（1）考查了存在性問題，存在性問題是只要能找到即可，并不要求所有的都成立．