Question

函數(shù)f(x)=cos(2x-

π

3

)+2sin(x-

π

4

)sin(x+

π

4

)，x∈[-

π

12

，

π

2

]的值域是

[-

3

2

，1]

．

Answer 1

分析：利用兩角和與差的正弦余弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，再利用二倍角公式，把函數(shù)解析式化簡(jiǎn)為sin（2x-

π

6

），根據(jù)x∈[-

π

12

，

π

2

]，求出2x-

π

6

的范圍，求出sin（2x-

π

6

）的最值即可求得函數(shù)f（x）的值域．

解答：解：函數(shù)f（x）=cos（2x-

π

3

）+2sin（x-

π

4

）sin（x+

π

4

）
=

1

2

sin2x+

3

2

sin2x+（sinx-cosx）（sinx+cosx）
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+sin²x-cos²x
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-cos2x
=sin（2x-

π

6

），
∵x∈[-

π

12

，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

3

，

5π

6

]，
因?yàn)閒（x）=sin（2x-

π

6

）在區(qū)間[-

π

12

，

π

3

]上單調(diào)遞增．
在區(qū)間[

π

3

，

π

2

]單調(diào)遞減，所以當(dāng)x=

π

3

，f（x）取最大值l．
又∵f（-

π

12

）=-

3

2

＜f（

π

2

）=

1

2

，
當(dāng)x=-

π

12

時(shí)，f（x）取最小值-

3

2

，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間上的值域?yàn)閇-

3

2

，1]．
故答案為：[-

3

2

，1]

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)求值，以及正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，涉及的知識(shí)有兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值．熟練掌握三角函數(shù)的基本性質(zhì)，是解三角函數(shù)問(wèn)題的關(guān)鍵．