如圖，在棱長是1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是DD1，BD，BB1的中點(diǎn).

（1）求證：EF⊥CF;

（2）求EF與CG所成的角的余弦值；

（3）求三棱錐G-CEF的體積.

 

【答案】

(1)見解析   （2）EF與CG所成角的余弦值是 (3)

VG-CEF =

【解析】因此此幾何休為正方體，易建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法解決。(1)只需證即可。

（2）用坐標(biāo)借助公式求EF與CG的所成角的余弦值。

(3)利用三棱錐可換底的特性可其體積。即VG-CEF=VC-EFG.

建立如圖所示的坐標(biāo)系，則 ……1分

(1) ,…………2分因?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082413531055125876/SYS201208241353375192798434_DA.files/image008.png">……3分

所以：即：EF⊥CF……………4分

（2）因?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082413531055125876/SYS201208241353375192798434_DA.files/image011.png">…………5分

所以：即：EF與CG所成角的余弦值是

(3)CF⊥平面EFG,且CF=,     S△EFG=…………10分

VG-CEF=VC-EFG=

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，棱長為1的正四面體ABCD中，E、F分別是棱AD、CD的中點(diǎn)，O是點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影．
（Ⅰ）求直線EF與直線BC所成角的大�。�
（Ⅱ）求點(diǎn)O到平面ACD的距離；
（Ⅲ）求二面角E-BE-F的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，棱長為1的正四面體ABCD中，E、F分別是棱AD、CD的中點(diǎn)，O是點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影．
（Ⅰ）求直線EF與直線BC所成角的大��；
（Ⅱ）求點(diǎn)O到平面ACD的距離；
（Ⅲ）求二面角E-BE-F的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，棱長為1的正四面體ABCD中，E、F分別是棱AD、CD的中點(diǎn)，O是點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影.

（Ⅰ）求直線EF與直線BC所成角的大小；

（Ⅱ）求點(diǎn)O到平面ACD的距離；

（Ⅲ）求二面角A―BE―F的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖,棱長為1的正四面體ABCD中,E、F分別是棱AD、CD的中點(diǎn),O是點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影.

(1)求直線EF與直線BC所成角的大小;

(2)求點(diǎn)O到平面ACD的距離;

(3)(理)求二面角ABEF的大小.

(文)求二面角CBFE的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2007年北京市朝陽區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

如圖，棱長為1的正四面體ABCD中，E、F分別是棱AD、CD的中點(diǎn)，O是點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影．
（Ⅰ）求直線EF與直線BC所成角的大��；
（Ⅱ）求點(diǎn)O到平面ACD的距離；
（Ⅲ）求二面角E-BE-F的大小．

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