下面關(guān)于棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中的四個命題：
①與AD1成60°角的面對角線的條數(shù)是8條；
②直線AA1與平面A1BD所成角的余弦值是
3
3
；
③從8個頂點中取四個點可組成 10 個正三棱錐；
④點A1到直線BC1的距離是
6
3
．
其中真命題的編號是______．

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①與AD1成60°角的面對角線的條數(shù)是8條，由圖形中可以看出除了其所在面以及平行的兩個面外的四個表面中每個面的兩條面對角線都與與AD1成60°角，恰有8條，故命題正確；
②直線AA1與平面A1BD所成角的余弦值是
3
3
，取底面ABCD中點O，可證得∠AA1O即是線AA1與平面A1BD所成角，求得線面角的余弦值為
6
3
，故此命題不對；
③從8個頂點中取四個點可組成 10 個正三棱錐，由圖形的結(jié)構(gòu)知，以8個頂點為頂點，以此點出發(fā)的三條側(cè)棱為側(cè)棱可以 組成8個正三棱錐，由面對角線可以組成兩個正四面體，共可以組成10個正三棱錐，故命題正確；
④點A1到直線BC1的距離是
6
3
，由于A1B1⊥側(cè)面B1C，且側(cè)面是正方形，連接B1C與BC1交于一點M，由正方形的性質(zhì)知，此兩直線垂直，連接A1M其長度即為所求點A1到直線BC1的距離，利用勾股定理解得，其長度是
6
2
，故命題不正確．
綜上知①③正確
故答案為：①③．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下面關(guān)于棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中的四個命題：
①與AD1成60°角的面對角線的條數(shù)是8條；
②直線AA1與平面A1BD所成角的余弦值是
3
3
；
③從8個頂點中取四個點可組成 10 個正三棱錐；
④點A1到直線BC1的距離是
6
3
．
其中真命題的編號是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•安徽模擬）下面關(guān)于棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1敘述正確的是
②④⑤
②④⑤
．
①任取四個頂點，共面的情況有8種；
②任取四個頂點順次連接總共可構(gòu)成10個正三棱錐；
③任取六個表面中的兩個，兩面平行的情況有5種；
④如圖把正方體展開，正方體原下底面A1B1C1D1與標(biāo)號4對應(yīng)；
⑤在原正方體中任取兩個頂點，這兩點間的距離在區(qū)間(
10
2
，
3
)內(nèi)的情況有4種．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年四川省成都市鹽道街中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：填空題

下面關(guān)于棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中的四個命題：
①與AD1成60°角的面對角線的條數(shù)是8條；
②直線AA1與平面A1BD所成角的余弦值是；
③從8個頂點中取四個點可組成 10 個正三棱錐；
④點A1到直線BC1的距離是．
其中真命題的編號是    ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年安徽省皖南八校聯(lián)考高三摸底數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

下面關(guān)于棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1敘述正確的是    ．
①任取四個頂點，共面的情況有8種；
②任取四個頂點順次連接總共可構(gòu)成10個正三棱錐；
③任取六個表面中的兩個，兩面平行的情況有5種；
④如圖把正方體展開，正方體原下底面A1B1C1D1與標(biāo)號4對應(yīng)；
⑤在原正方體中任取兩個頂點，這兩點間的距離在區(qū)間內(nèi)的情況有4種．

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