在△ABC中，E，F(xiàn)分別是邊AC，AB的中點(diǎn)，且3AB=2AC，若恒成立，則t的最小值為    ．
【答案】分析：要求t的最小值，即要求BE與CF比值的最大值，由AB與AC的關(guān)系，用AB表示出AC，在△ABE中，由余弦定理表示BE2，在△ACF中，利用余弦定理表示出CF2，并表示出BE與CF的平方比，分離出常數(shù)，由A為三角形的內(nèi)角，得到A的范圍，表示比值求出最大值，即可得到t的取值范圍．
解答：解：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：

∵3AB=2AC，
∴AC=AB，
又E、F分別為AC、AB的中點(diǎn)，
∴AE=AC，AF=AB，
∴在△ABE中，由余弦定理得：BE2=AB2+AE2-2AB•AE•cosA
=AB2+（AB）2-2AB•AB•cosA=AB2-AB2cosA，
在△ACF中，由余弦定理得：CF2=AF2+AC2-2AF•AC•cosA
=（ AB）2+（ AB）2-2•AB•AB•cosA=AB2-AB2cosA，
∴==
∴==
∵當(dāng)cosA取最小值時(shí)，比值最大，
∴當(dāng)A→π時(shí)，cosA→-1，此時(shí) 達(dá)到最大值，最大值為 =
則 ＜t恒成立，t的最小值為
故答案為：
點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，余弦函數(shù)的定義域與值域，以及不等式恒成立時(shí)滿足的條件，余弦定理建立了三角形的邊角關(guān)系，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)在△ABC中，E、F分別為AB、AC上的點(diǎn)，若
AE
AB
=m，
AF
AC
=n，則
S△AEF
S△ABC
=mn．拓展到空間：在三棱錐S-ABC中，D、E、F分別是側(cè)棱SA、SB、SC上的點(diǎn)，若
SD
DA
=m，
SE
EB
=n，
SF
FC
=p，則
VS-DEF
VS-ABC
=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在△ABC中，E，F(xiàn)分別為AB，AC中點(diǎn)，P為EF上任意一點(diǎn)，實(shí)數(shù)x，y滿足
PA
+x
PB
+y
PC
=
0
，設(shè)△ABC，△PCA，△PAB的面積分別為S，S1，S2記
S1
S
=λ1，
S2
S
=λ2，則λ1•λ2取得最大值時(shí)，2x+3y的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•鐘祥市模擬）在△ABC中，E，F(xiàn)分別是AC，AB的中點(diǎn)，且3AB=2AC，若
BE
CF
＜t恒成立，則t的最小值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在△ABC中，E，F(xiàn)分別為邊AB，AC上的點(diǎn)，且
AE
=
EB
，
AF
=2
FC
，若
BC
=m
CE
+n
BF
，則m+n=
13
8
13
8
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在△ABC中，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，P為EF上的任一點(diǎn)，實(shí)數(shù)x，y滿足
PA
+
xPB
+y
PC
=
0
，設(shè)△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面積分別為S，S1，S2，S3，記
S1
S
=λ1，
S2
S
=λ2，
S3
S
=λ3，則λ2•λ3取到最大值時(shí)，2x+y的值為（　�。�

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