三棱柱ABC-A1B1C1中，側棱與底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=2，M，N分別是A1B1，AC1的中點．
（1）求證：MN⊥平面ABC1；
（2）求三棱錐M-ABC1的體積．
考點：直線與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積
專題：空間位置關系與距離
分析：（1）由已知得四邊形BCC1B1是正方形，MN⊥BC1，MN⊥AC1．由此能證明MN⊥平面ABC1．
（2）MN是三棱錐M-ABC1的高，由已知條件推導出MN=
2
．S△ABC1=2
2
．由此能求出三棱錐M-ABC1的體積．
解答： （1）證明：∵三棱柱ABC-A1B1C1中，側棱與底面垂直，
∴四邊形BCC1B1是正方形．
∴BC1⊥B1C．∴MN⊥BC1．
連接AM，C1M，△A1MA≌△B1MC1．
∴AM=C1M，又N是AC1的中點，∴MN⊥AC1．
∵BC1與AC1相交于點C1，
∴MN⊥平面ABC1．
（2）解：由（1）知MN是三棱錐M-ABC1的高．
在直角△MNC中，MC1=
5
，AC1=2
3
，∴MN=
2
．
又S△ABC1=2
2
．
∴VM-ABC1=
1
3
•MN•S△ABC1=
4
3
．
點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給出下列四個命題：
①垂直于同一直線的兩條直線互相平行
②平行于同一平面的兩個平面互相平行
③若l1l2互相平行，則直線l1，l2與同一平面所成的角相等
④若直線l1，l2是異面直線，則與l1，l2都相交的兩條直線是異面直線
其中真命題是（　�。�
A、②③B、①②C、③④D、①④

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列 {an}對任意正整數(shù) n滿足
an+1
an
=-1，且a1=1，則數(shù)列 {an}的前100項的和S100等于（　　）
A、0B、1C、-1D、100

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0，x≥0）和曲線C2：x2+y2=r2（x≥0）都經(jīng)過點A（0，-1），且曲線C1所在的圓錐曲線的離心率為
6
3
．
（Ⅰ）求曲線C1和曲線C2的方程；
（Ⅱ）設B，C兩點分別在曲線C1，C2上，且均與點A不重合，k1，k2分別為直線AB，AC的斜率，且k2=3k1．
①問直線BC是否過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由；
②求∠BAC的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b大于0）的離心率為
1
2
，且過點（
3
，
3
2
）．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設橢圓的左頂點為A，過橢圓右焦點F的直線l交橢圓E于B，C（異于點A）兩點，問直線AB，AC的斜率之積是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2sin（2x+
π
6
）cos2x-
1
2
．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移
π
8
個單位，再將圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若關于x的方程g（x）-k=0在區(qū)間[0，
π
2
]上有解，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中點，AA1=AB=2．
（Ⅰ）求證：A1C∥平面AB1D；
（Ⅱ）求點C1到平面AB1D的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+1（a＞0），F(xiàn)（x）=
f(x) ， x≥0
-f(x) ， x＜0
若f（-1）=0，且對任意實數(shù)x均有f（x）≥0成立．
（1）求F（x）的表達式；
（2）設函數(shù)g（x）=x+t，若函數(shù)F（x）與g（x）的圖象有三個不同交點，求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

畫出下列函數(shù)的圖象：
（1）y=-
1
x
-1
（2）y=-|-x2+2x+3|
（3）y=-|x-2|+|x+1|
（4）y=1-
1-|x|
|1-x|
．

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