Question

10．已知f（x）=log₄（4^x-1）．
（1）求f（x）的定義域；
（2）討論f（x）的單調(diào)性；
（3）求f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)4^x-1＞0求解即可
（2）利用單調(diào)性的定義判斷即可
（3）根據(jù)（2）問結(jié)論得出最大值，最小值即可得出值域．

解答 解：（1）4^x-1＞0，所以x＞0，所以定義域是（0，+∞），
（2）f（x）在（0，+∞）上單調(diào)增，
設(shè)0＜x₁＜x₂，則f（x1）-f（x2）=log4（4x1-1）-log4（4x2-1）=log₄$\frac{{4}^{{x}_{1}}-1}{{4}^{{x}_{2}}-1}$
又∵0＜x₁＜x₂，∴1＜4x1＜4x2，0＜4x1-1＜4x2-1
∴0＜$\frac{{4}^{{x}_{1}}-1}{{4}^{{x}_{2}}-1}$＜1，即log₄$\frac{{4}^{{x}_{1}}-1}{{4}^{{x}_{2}}-1}$＜0
∴f（x₁）＜f（x₂），f（x）在（0，+∞）上單調(diào)增．
（3）∵f（x）區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上單調(diào)遞增，
∴最小值為log₄（4${\;}^{\frac{1}{2}}$-1）=log₄1=0．
最大值為log₄（4²-1）=log₄15
∴值域?yàn)椋篬0，log₄15]

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．