Question

如圖，棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=2

2

．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角B-PD-C的余弦值；
（Ⅲ）在線段PD上是否存在一點(diǎn)Q，使CQ與平面PBD所成的角的正弦值為

2 6

9

，若存在，指出點(diǎn)Q的位置，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出BD⊥AC，BD⊥PA，由此能證明BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角B-PD-C的余弦值．
（III）設(shè)

DQ

=λ

DP

(0＜λ＜1)，由CQ與平面PBD所成的角的正弦值為

2 6

9

，利用向量法能求出線段PD上存在一點(diǎn)Q，使CQ與平面PBD所成的角的正弦值為

2 6

9

，且|DQ|=

1

4

|DP|．

解答： 解：（Ⅰ）證明：在Rt△BAD中，AD=2，BD=2

2

，
∴AB=2，ABCD為正方形，
∴BD⊥AC．
∵PA⊥平面ABCD，
∴BD⊥PA．
∵AC?平面PAC，PA?平面PAC，
AC∩PA=A，
∴BD⊥平面PAC．…（4分）
（Ⅱ）解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
則B（2，0，0），
C（2，2，0），D（0，2，0），
P（0，0，2），
∴

BD

=(-2，2，0)，

PD

=(0，2，-2)，

CD

=(2，0，0)
設(shè)平面PCD的法向量

m

=(x，y，z)，
則

m • PD =2y-2z=0 m • CD =2x=0

，取y=1，得

m

=(0，1，1)，
高平面PBD的法向量

n

=(x1，y1，z1)，
則

n • BD =-2x1+2y1=0 n • PD =2y1-2z1=0

，取x₁=1，得

n

=(1，1，1)…（7分）
∵cos＜

m

，

n

＞=

1+1

2 • 3

=

6

3

，
∴二面角B-PD-C的余弦值

6

3

．…（9分）
（III）解：∵Q在DP上，∴設(shè)

DQ

=λ

DP

(0＜λ＜1)，
又∵

DP

=(0，-2，2)，
∴

AQ

=

AD

+

DQ

=

AD

+λ

DP

=(0，2，0)+(0，-2λ，2λ)=(0，2-2λ，2λ)，
∴Q（0，2-2λ，2λ），∴

CQ

=(-2，-2λ，2λ)=2(-1，-λ，λ)．…（10分）
由（Ⅱ）可知平面PBD的法向量為

n

=(1，1，1)，
設(shè)CQ與平面PBD所成的角為θ，
則有：sinθ=|cos?

CQ

，

n

＞|=

| CQ • n |

| CQ || n |

=

1

3 1+2λ2

…（11分）
∵CQ與平面PBD所成的角的正弦值為

2 6

9

，
∴

1

3 1+2λ2

=

2

9

6

，解得λ2=

1

16

，∵0＜λ＜1，∴λ=

1

4

…（12分）
∴線段PD上存在一點(diǎn)Q，使CQ與平面PBD所成的角的正弦值為

2 6

9

，且|DQ|=

1

4

|DP|．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查線段上滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷和求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．