設拋物線過定點A(-1,0),且以直線x=1為準線
(Ⅰ)求拋物線頂點的軌跡C的方程;
(Ⅱ)若直線l與軌跡C交于不同的兩點M,N,且線段MN恰被直線x=-數(shù)學公式平分,設弦MN的垂直平分線的方程為y=kx+m,試求m的取值范圍

解:(Ⅰ)設拋物線的頂點為G(x,y),則其焦點為F(2x-1,y)由拋物線的定義可知:|AF|=點A到直線x=1的距離為2,
所以,=2
所以,拋物線頂點G的軌跡C的方程為x2+=1(x≠1)
(Ⅱ)顯然,直線l與坐標軸不可能平行,所以,設直線l的方程為y=-x+b,
代入橢圓方程得:x2-+b2-4=0
由于l與軌跡C交于不同的兩點M,N,所以,△=-4()(b2-4)>0,即4k2-k2b2+1>0(k≠0)(*)
又線段MN恰被直線x=-平分,所以,xM+xN==2×(-
所以bk=,代入(*)可解得:-<k<(k≠0)
由于y=kx+m為弦MN的垂直平分線,故可考慮弦MN的中點P(-,y0
在y=-x+b,中,令x=-,可解得:y0=-+b=-2k

將點P(--2k)代入y=kx+m,可得:m=-k
所以-m<,m≠0
分析:(Ⅰ)設拋物線的頂點為G,則焦點坐標可得,進而根據(jù)拋物線的定義可知:|AF|=點A到直線x=1的距離進而利用兩點間的距離公式求得x和y的關系式求得拋物線頂點G的軌跡C的方程.
(Ⅱ)因為m是弦MN的垂直平分線與y軸交點的縱坐標,由MN所唯一確定所以,要求m的取值范圍,還應該從直線l與軌C相交入手
設直線l的方程與軌跡C的方程聯(lián)立消去y,根據(jù)判別式大于0求得k的不等式方程,進而根據(jù)線段MN恰被直線x=-平分,求得xM+xN的表達式,進而求得bk,帶代入到判別式求得k的范圍,下面只需找到m與k的關系,即可求出m的取值范圍.求得MN中點P的坐標,把x=-代入即可求得y0的表達式,將P點坐標代入直線方程求得k和m的關系式,進而根據(jù)m的范圍求得k的范圍.
點評:本題主要考查了拋物線的簡單性質.考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力.
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平分,設弦MN的垂直平分線的方程為y=kx+m,試求m的取值范圍

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