Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，AA₁=

2

，D、E分別為BB₁、AC的中點(diǎn)．
（1）證明：AC⊥平面BDE
（2）求二面角A₁-AD-C₁的大�。�

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，證明

AC

⊥

BE

，

AC

⊥

BD

，即可證明AC⊥平面BDE；
（2）確定平面AC₁D的一個(gè)法向量、平面AA₁D的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角A₁-AD-C₁的大�。�

解答：（1）證明：以BA所在直線為x軸，BC所在直線為y軸，BB₁所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（1，0，0），A1(1，0，

2

)，C（0，1，0），C1(0，1，

2

)，D(0，0，

2

2

)，E(

1

2

，

1

2

，0)
∴

AC

=(-1，1，0)，

BE

=(

1

2

，

1

2

，0)，

BD

=(0，0，

2

2

)
∴

AC

•

BE

=(-1，1，0)•(

1

2

，

1

2

，0)=0，

AC

•

BD

=(-1，1，0)•(0，0，

2

2

)
即

AC

⊥

BE

，

AC

⊥

BD

，而BE∩BD=B，
∴AC⊥平面BDE；
（2）解：設(shè)平面AC₁D的一個(gè)法向量是

n

=(x，y，z)，
則由

n ⊥ AD n ⊥ C1D

，∴

-x+ 2 2 z=0 -y- 2 2 z=0

令x=1，則

n

=(1，-1，

2

)，
又平面AA₁D的一個(gè)法向量是

m

=

BC

=(0，1，0)，
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=-

1

2

∴＜

m

，

n

＞=120°，
由圖可知二面角為銳角，故A₁-AD-C₁的大小為60°．

點(diǎn)評：本題考查線面垂直，考查面面角，考查向量知識的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．