Question

如圖，在底面是正方形的四棱錐P—ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，PC=PD=CD=2.
（I）求證：PD⊥BC；
（II）求二面角B—PD—C的正切值。

Answer 1

見(jiàn)解析

解決立體幾何問(wèn)題的，主要有兩個(gè)策略，一是不建立坐標(biāo)系，直接利用空間向量基本定理，即將有關(guān)向量用空間一組基底表示出來(lái)，然后通過(guò)向量的有關(guān)運(yùn)算求解；二是建立空間坐標(biāo)系，通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決問(wèn)題
方法一：
（I）證明：∵平面PCD⊥平面ABCD，又∵平面PCD∩平面ABCD=CD，BC在平面ABCD內(nèi) ，BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD.∴PD⊥BC.    …………6分
（II）解：取PD的中點(diǎn)E，連接CE、BE，

為正三角形，
由（I）知BC⊥平面PCD，∴CE是BE在平面PCD內(nèi)的射影，∴BE⊥PD.
∴∠CEB為二面角B—PD—C的平面角.       …………9分
在         …………12分
方法二：（I）證明：取CD的中點(diǎn)為O，連接PO，

∵PD=PC，∴PO⊥CD，∵平面PCD⊥平面ABCD，
平面PCD∩平面ABCD=CD，∴PO⊥平面ABCD，如圖，在平面ABCD內(nèi)，過(guò)O作OM⊥CD交AB于M，以O(shè)為原點(diǎn)，OM、OC、OP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz，
由B（2，1，0），C（0，1，0），D（0，-1，0），     …………4分
…6分
（II）解：取PD的中點(diǎn)E，連接CE、BE，則為正三角形，為二面角B—PD—C的平面角.