Question

在平面直角坐標上有一點列P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）…，P_n（x_n，y_n）…，對一切正整數n，點P_n在函數
y=3x+的圖象上，且P_n的橫坐標構成以-為首項，-1為公差的等差數列{x_n}．
（Ⅰ）求點P_n的坐標；
（Ⅱ）設拋物線列C₁，C₂，C₃，…C_n，…中的每一條的對稱軸都垂直于x軸，拋物線C_n的頂點為P_n，且過點D_n（0，n²+1），記與拋物線C_n相切于點D_n的直線的斜率為K_n，求++…+的值．

Answer 1

解：（1）∵，
∴．
∴．
（2）∵C_n的對稱軸垂直于x軸，且頂點為P_n，
∴設C_n的方程為 ．
把D_n（0，n²+1）代入上式，得a=1，
∴C_n的方程為y=x²+（2n+3）x+n²+1．
∵k_n=y'|_x=0=2n+3，
∴，
∴=
=．
分析：（I）根據等差數列的通項公式可求得x_n，進而代入直線方程求得y_n，則點P的坐標可得．
（II）先設出C_n的方程，把D點代入求得a，進而對函數進行求得求得切線的斜率，即k_n的表達式，進而用裂項法求得
點評：求數列的前n項和的問題，一般先求出數列的通項公式，根據通項公式的特點，選擇合適的求和方法．常見的求和方法有：公式法、倒序相加法、錯位相減法、裂項相消法、分組法．