Question

6．已知四棱錐P-ABCD的三視圖如下，E是側(cè)棱PC上的動(dòng)點(diǎn)．

（Ⅰ）求四棱錐P-ABCD的體積；
（Ⅱ）不論點(diǎn)E在何位置，是否都有BD⊥AE？證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）是否存在E點(diǎn)使得PA∥平面BDE？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （I）由該四棱錐的三視圖可知，該四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱PC⊥底面ABCD，且PC=2．由錐體體積公式可求；
（II）不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE；利用正方形和線面垂直的性質(zhì)定理證明；
（Ⅲ）當(dāng)E點(diǎn)為PC中點(diǎn)時(shí)，PA∥平面BDE；利用線面平行的判定定理證明．

解答 解：（I）由該四棱錐的三視圖可知，該四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱PC⊥底面ABCD，且PC=2．
∴${V_{P-ABCD}}=\frac{1}{3}{S_{ABCD}}•PC=\frac{2}{3}$…（3分）               
（II）不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE．…（4分）
證明：連接AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC．∵PC⊥底面ABCD，且BD?平面ABCD，∴BD⊥PC．…（5分）
又AC∩PC=C，∴BD⊥平面PAC．
∵不論點(diǎn)E在何位置，都有AE?平面PAC．
∴不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE．…（8分）
（Ⅲ）當(dāng)E點(diǎn)為PC中點(diǎn)時(shí)，PA∥平面BDE…（9分）
證明：連結(jié)AC交BD于O點(diǎn)，連結(jié)OE
∵四邊形ABCD為正方形
∴O點(diǎn)為AC中點(diǎn)，又E點(diǎn)為PC中點(diǎn)
∴OE∥PA，又PA?平面BDE，OE?平面BDE
∴PA∥平面BDE…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了錐體的三視圖、體積公式以及線面垂直、線面平行的性質(zhì)定理和判定定理的運(yùn)用；屬于中檔題．