Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+b的圖象在點(diǎn)P（1，0）處的切線與直線3x+y=0平行，
（Ⅰ）求常數(shù)a、b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，4]上的最小值和最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）f'（x）=3x²+2ax，
依題意有：f'（1）=3+2a=-3，
∴a=-3．
又f（1）=a+b+1=0
∴b=2．
綜上：a=-3，b=2
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x³-3x²+2；f'（x）=3x²-6x
令f'（x）=0得：x=0，x=2
當(dāng)0≤x≤4時，隨x的變化，f'（x）、f（x）的變化情況如下表：

從上表可知：當(dāng)x=2時，f（x）取最小值為f（2）=-2；
當(dāng)x=4時f（x）取最大值是f（4）=18
分析：（Ⅰ）由題目條件知，點(diǎn)P（1，0）為切點(diǎn)，且函數(shù)在改點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率，從而建立關(guān)于a，b的方程，可求得a，b的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）確定了函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的解析式，通過探討導(dǎo)數(shù)在區(qū)間[0，4]上的符號得函數(shù)的單調(diào)性，即可的函數(shù)在區(qū)間[0，4]上的最大值和最小值．
點(diǎn)評：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在最大值，最小值中的應(yīng)用，同時考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及學(xué)生靈活轉(zhuǎn)化題目條件的能力，是個中檔題．