Question

【題目】設函數(shù)為常數(shù)．

（1）當時，求函數(shù)的圖象在點處的切線方程；

（2）若函數(shù)有兩個不同的零點，，

①當時，求的最小值；

②當時，求的值．

Answer 1

【答案】（1）（2）①②

【解析】

（1）利用導數(shù)求得函數(shù)在處切線的斜率，結合切點坐標，利用點斜式寫出切線方程.

（2）①利用的二階導數(shù)，求得的最小值的表達式，利用，對進行分離常數(shù)，由此求得的取值范圍，進而求得的最小值. ②當時，假設是函數(shù)的零點，證得也是函數(shù)的零點，也即，由此求得.

（1）當時，，，，，

故所求切線的方程為，即.

（2）①，令，則，

當時恒成立，故在上遞減，

令得，故在上遞增，

又，，的圖象在上連續(xù)不間斷，

所以存在唯一實數(shù)使得，

故時，時，所以在上遞減，在上遞增，

∴，由得，

∴，

因為函數(shù)有兩個不同的零點，，所以，得，

由易得，故整數(shù)，

當時，，滿足題意，

故整數(shù)的最小值為.（也可以用零點存在性定理給出證明)

注：由得，不能得到.

②當時，，

不妨設，由及的單調性可知，

由得，

∴，

故函數(shù)有兩個不同的零點，，

又由的單調性可知有且僅有兩個不同的零點，，

∴，∴.