Question

已知中心在坐標原點，以坐標軸為對稱軸的雙曲線C過點Q（2，

3

3

），且Q點在x軸上的射影恰為該雙曲線的焦點F．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）過雙曲線C的焦點F作與x軸不垂直的任意直線l交雙曲線C于A，B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點M，問：

|AB|

|FM|

是否為定值？若為定值，請求出這個定值；若不是定值，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，a＞0，b＞0，由已知條件得c=2，2a=||QF₁|-|QF₂||=2

3

，由此能求出雙曲線方程．
（Ⅱ）設直線l：y=k（x-2），當k=0時，

|AB|

|FM|

=

3

；當k≠0時，由

y=k(x-2) x2 3 -y2=1

，得（1-3k²）x²+12k²x-12k²-3=0，由此利用韋達定理、根的判別式、橢圓弦長公式能求出

|AB|

|FM|

=

3

．

解答： （本小題滿分共12分）
解：（1）設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，a＞0，b＞0，
則焦點F的坐標為（2，0），c=2，
2a=||QF₁|-|QF₂||=|

(2-2)2+( 3 3 -0)2

-

(2+2)2+( 3 3 -0)2

|=2

3

，
∴a=

3

，b=

c2-a2

=1，
∴雙曲線方程為

x2

3

-y2=1．
（Ⅱ）設直線l：y=k（x-2），
①當k=0時，|AB|=2

3

，|FM|=2，∴

|AB|

|FM|

=

3

．
②當k≠0時，由

y=k(x-2) x2 3 -y2=1

，得（1-3k²）x²+12k²x-12k²-3=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則1-3k²≠0，△＞0，
x1+x2=-

12k2

1-3k2

，x1x2=-

12k2+3

1-3k2

，
設AB中點P（x₀，y₀），則x0=

x1+x2

2

=-

6k2

1-3k2

，
y0=k(x0-2)=-

4k

1-3k2

，
∴P（-

6k2

1-3k2

，-

2k

1-3k2

），
∴AB中垂線：y+

2k

1-3k2

=-

1

k

（x+

6k2

1-3k2

），
令y=0，得x=-

8k2

1-3k2

，即M（-

8k2

1-3k2

，0），
∴|FM|=|2+

8k2

1-3k2

|=

2(1+k2)

|1-3k2|

，
∴|AB|=

(1+k2)[(- 12k2 1-3k2 )2-4(- 12k2+3 1-3k2 )]

=

2 3 (1+k2)

|1-3k2|

．
∴

|AB|

|FM|

=

3

．

點評：本題考查雙曲線方程的求法，考查兩線段比值是否為定值的判斷與求法，解題時要認真審題，注意橢圓弦長公式的合理運用．