Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且對任意n∈N^*，有n，a_n，S_n成等差數(shù)列．
（Ⅰ）記數(shù)列b_n=a_n+1（n∈N^*），求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．
（Ⅱ）數(shù)列{a_n}的前n項和為T_n，求滿足的所有n的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）得出數(shù)列的通項和前n項和之間的關(guān)系確定出數(shù)列相鄰項之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，然后利用整體思想和等比數(shù)列的定義證明出數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）根據(jù)數(shù)列{a_n}的通項公式選擇合適的方法求出數(shù)列{a_n}的前n項和為T_n是解決本題的關(guān)鍵，對所解決的不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化化簡進(jìn)而確定出滿足題意的所有n的值．
解答：解：
（Ⅰ）證明：S_n=2a_n-n，S_n+1=2a_n+1-（n+1）⇒a_n+1=2a_n+1-2a_n-1⇒a_n+1=2a_n+1，
；
又由S₁=a₁=2a₁-1⇒a₁=1
所以數(shù)列{b_n}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列．
（Ⅱ）解：b_n=a_n+1=2ⁿ，a_n=2ⁿ-1，
可以得出T_n=2ⁿ⁺¹-n-2，
從而
所以n的值為3，4．
點評：本題考查數(shù)列的通項和前n項和之間的關(guān)系，考查等比數(shù)列的判定方法，考查整體思想的運用，分析問題解決問題的方法，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸能力，屬于數(shù)列中的基本題型．