Question

19．已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁（-$\sqrt{10}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{10}$，0），且橢圓C過點(diǎn)P（3，2）．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）與直線OP平行的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，求△PAB面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，利用橢圓定義求得a，結(jié)合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）求出k_OP=$\frac{2}{3}$，設(shè)與直線OP平行的直線方程為y=$\frac{2}{3}$x+m，聯(lián)立直線和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0，以及弦長公式，點(diǎn)到直線的距離公式和三角形的面積公式，結(jié)合基本不等式即可得到所求最大值．

解答 解：（Ⅰ）由題意設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
∵橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁（-$\sqrt{10}$，0），
F₂（$\sqrt{10}$，0），且橢圓C過點(diǎn)P（3，2），
由橢圓定義可得2a=$\sqrt{（3+\sqrt{10}）^{2}+{2}^{2}}$+$\sqrt{（3-\sqrt{10}）^{2}+{2}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，即a=3$\sqrt{2}$，
∴b²=a²-c²=8，
則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{18}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1；
（Ⅱ）由k_OP=$\frac{2}{3}$，
設(shè)與直線OP平行的直線方程為y=$\frac{2}{3}$x+m，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{3}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{8}=1}\end{array}\right.$，得8x²+12mx+9m²-72=0．
由判別式△=144m²-32（9m²-72）＞0，解得0＜|m|＜4．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{3}{2}$m，x₁x₂=$\frac{9{m}^{2}-72}{8}$，
|AB|=$\sqrt{1+\frac{4}{9}}$•$\sqrt{\frac{9}{4}{m}^{2}-\frac{9{m}^{2}-72}{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{3}$•$\frac{\sqrt{144-9{m}^{2}}}{2}$，
點(diǎn)O到直線AB的距離為d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+\frac{4}{9}}}$=$\frac{3}{\sqrt{13}}$|m|，
即有△PAB面積為S=$\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{|m|\sqrt{144-9{m}^{2}}}{4}$=$\frac{\sqrt{9{m}^{2}（144-9{m}^{2}）}}{12}$≤$\frac{\sqrt{（\frac{144}{2}）^{2}}}{12}$=6．
當(dāng)且僅當(dāng)9m²=144-9m²，即m=±2$\sqrt{2}$時(shí)，取得最大值6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，以及點(diǎn)到直線的距離公式，考查計(jì)算能力，是中檔題．