Question

已知定義在R上的奇函數(shù)f（x），滿足f（x-6）=-f（x），且在區(qū)間[0，3]上是增函數(shù)．若方程f（x）=m（m＞0）在區(qū)間[-12，12]上有四個(gè)不同的根x₁，x₂，x₃，x₄，則x₁+x₂+x₃+x₄=

-12

．

Answer 1

分析：由條件“f（x-6）=-f（x）”得f（x+12）=f（x），說明此函數(shù)是周期函數(shù)，又是奇函數(shù)，f（x-6）=-f（x）=f（-x）得到對(duì)稱軸方程，且在[0，3]上為增函數(shù)，由這些畫出示意圖，由圖可解決問題．

解答：解：由f（x-6）=-f（x）得f（x+12）=f（x），故周期為12．
又因?yàn)閒（x-6）=-f（x）=f（-x）
所以對(duì)稱軸為x=3，
此函數(shù)是周期函數(shù)，又是奇函數(shù)，且在[0，3]上為增函數(shù)，
綜合條件得函數(shù)的示意圖，由圖看出，
四個(gè)交點(diǎn)中兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為2×（-9），
另兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為2×3，
所以x₁+x₂+x₃+x₄=-12．
故答案為：-12．

點(diǎn)評(píng)：數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷．