Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AD=4，BD=8，平面PAD⊥平面ABCD，AB=2DC=4 ． （Ⅰ）設M是線段PC上的一點，證明：平面BDM⊥平面PAD
（Ⅱ）求四棱錐P﹣ABCD的體積．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：在△ABD中，AD=4，BD=8，AB=4 ， ∵AD2+BD2=AB2 ，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BD．
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
BD平面ABCD，
∴BD⊥平面PAD，
又BD平面MBD，
∴平面MBD⊥平面PAD．
（Ⅱ）解：過P作PO⊥AD交AD于O，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
PO平面PAD，
∴PO⊥平面ABCD．
∴線段PO為四棱錐P﹣ABCD的高，
在四邊形ABCD中，∵AB∥DC，AB=2DC，
∴四邊形ABCD是梯形，在Rt△ADB中，斜邊AB邊上的高為 = ，
即梯形ABCD的高為 ，
∴梯形ABCD的面積為S= =24．
∴VP﹣ABCD= =16 ．

【解析】（Ⅰ）在△ABD中，由AD2+BD2=AB2 ， 可得∠ADB=90°．又平面PAD⊥平面ABCD，可得BD⊥平面PAD，夾角證明．（Ⅱ）過P作PO⊥AD交AD于O，利用線面垂直的性質定理可得：PO⊥平面ABCD．即線段PO為四棱錐P﹣ABCD的高，利用梯形的面積計算公式可得梯形ABCD的面積為S．即可得出VP﹣ABCD ．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用平面與平面垂直的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．