Question

（理科）南昌某中學(xué)為了重視國(guó)學(xué)的基礎(chǔ)教育，開(kāi)設(shè)了A，B，C，D，E共5門(mén)選修課，每個(gè)學(xué)生必須且只能選修1門(mén)課程課，現(xiàn)有該校的甲、乙、丙、丁4名學(xué)生：
（1）求恰有2門(mén)選修課沒(méi)有被這4名學(xué)生選擇的概率；
（2）設(shè)這4名學(xué)生選擇A選修課的人數(shù)為ξ，求ξ的概率分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,古典概型及其概率計(jì)算公式

專(zhuān)題：綜合題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）每個(gè)學(xué)生必須且只需選修1門(mén)選修課，每一人都有種選擇，總共有5⁴，恰有2門(mén)選修課沒(méi)有被這3名學(xué)生選擇的概率，則有C₅²C₄²A₃³，從而求解；
（2）某一選修課被這3名學(xué)生選擇的人數(shù)為ξ，則ξ=0，1，2，3，4，分別算出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），再利用期望公式求解．

解答： 解：（1）根據(jù)每個(gè)學(xué)生必須且只需選修1門(mén)選修課，每一人都有種選擇，總共有5⁴，恰有2門(mén)選修課沒(méi)有被這3名學(xué)生選擇的概率，則有C₅²C₄²A₃³，
∴恰有2門(mén)選修課這4名學(xué)生都沒(méi)選擇的概率：P₂=

C 2 5 C 2 4 A 3 3

54

=

72

125

（2）設(shè)A選修課被這4名學(xué)生選擇的人數(shù)為ξ，則ξ=0，1，2，3，4
P（ξ=0）=

44

54

=

256

625

，P（ξ=1）=

C 1 4 43

54

=

256

625

，P（ξ=2）=

C 2 4 42

54

=

96

625

，
P（ξ=3）=

C 3 4 41

54

=

16

625

，P（ξ=4）=

C 4 4

54

=

1

625

分布列如下：

ξ	0	1	2	3	4
P	256 625	256 625	96 625	16 625	1 625

∴Eξ=0×

256

625

+1×

256

625

+2×

96

625

+3×

16

625

+4×

1

625

=

4

5

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查古典概型及其概率計(jì)算，考查取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列和均值的概念，通過(guò)設(shè)置密切貼近現(xiàn)實(shí)生活的情境，考查概率思想的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)．