Question

設(shè)f（x）=x²+px+q，集合A={x|x=f（x）}，B={x|f[f（x）]=x}，
（1）求證：A⊆B；
（2）若集合A={-1，3}，求集合B．

Answer 1

考點(diǎn)：集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用

專(zhuān)題：集合

分析：（1）若x∈A，則x=f（x）成立，則f[f（x）]=f（x）=x必成立，進(jìn)而根據(jù)集合包含關(guān)系的定義，得到結(jié)論；
（2）由A={x|f（x）=x}={x|x²+px+q=x}={x|x²+（p-1）x+q=0}={-1，3}，結(jié)合方程根與系數(shù)關(guān)系可求p，q，進(jìn)而可求，f（x），然后代入B={x|f[f（x）]=x}整理可求

解答： 證明：（1）若x∈A，
則x=f（x）成立，
則f[f（x）]=f（x）=x必成立，
即x∈B，
故A⊆B；
（2）∵A={x|f（x）=x}={x|x²+px+q=x}={x|x²+（p-1）x+q=0}={-1，3}
∴-1，3是方程x²+（p-1）x+q=0的根
∴

1-p=2 q=-3

，即p=-1，q=-3，f（x）=x²-x-3
∴B={x|f[f（x）]=x}={x|f（x²-x-3）=x}={x|（x²-x-3）²-（x²-x-3）-3=x}
化簡(jiǎn)可得，（x²-x-3）²-x²=0
∴（x²-3）（x²-2x-3）=0
∴x=

3

或x=-

3

或x=3或x=-1
∴B={

3

，-

3

，-1，3}

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)與二次方程之間關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用．