設(shè)F1、F2分別是橢圓E:的左、右焦點,過F1且斜率為k的直線l與E相交于A、B兩點,且|AF2|、|AB|、|BF2|成等差數(shù)列.
(1)若a=1,求|AB|的值;
(2)若k=1,設(shè)點P(0,-1)滿足|PA|=|PB|,求橢圓E的方程.
【答案】分析:(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),左焦點(-c,0),則直線l:y=x+c,由題意得
|AF2|+|BF2|=2|AB|,由橢圓的性質(zhì)能導(dǎo)出|AB|+2|AB|=4a,再由a=1,能求出|AB|的值.
(2)由PA=PB,知(x1+1)2+y12=(x2+1)2+yy22,所以(x1-x2)(x1+x2+2)+(y1-y2)(y1+y2)=0.把y=x+c代入,得(x1-x2)(x1+x2+2)+[(x1+c)-(x2+c)][(x1+c)+(x2+c)]=0,從而導(dǎo)出(-)+1+c=0,再由e==,能推導(dǎo)出橢圓方程.
解答:(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),左焦點(-c,0),
則直線l:y=x+c
由題意得
|AF2|+|BF2|=2|AB|,
∵|AF1|+|AF2|=2a,①
|BF1|+|BF2|=2a,②
①+②得
(|AF1|+|BF1|)+(|AF2|+|BF2|)=4a,
即|AB|+2|AB|=4a,
∵a=1,
∴|AB|=
(2)∵PA=PB,
∴(x1+1)2+y12=(x2+1)2+yy22,
∴(x1+1)2-(x2+1)2+y12-y22=0
(x1-x2)(x1+x2+2)+(y1-y2)(y1+y2)=0    
把y=x+c代入,得
(x1-x2)(x1+x2+2)+[(x1+c)-(x2+c)][(x1+c)+(x2+c)]=0,
(x1-x2)(x1+x2+2)+(x1-x2)(x1+x2+2c)=0
(x1-x2)[2(x1+x2)+2+2c]=0
∵x1≠x2,即x1-x2≠0
∴2(x1+x2)+2+2c=0
∴x1+x2+1+c=0
即(-)+1+c=0,
∵e==,即a2=2c2
代入上式,得
c=3
∴a2=18,b2=9
橢圓方程為
點評:本題考查數(shù)列與解析幾何的綜合應(yīng)用,難度大,較繁瑣,易出錯.通過幾何量的轉(zhuǎn)化考查用待定系數(shù)法求曲線方程的能力,通過直線與圓錐曲線的位置關(guān)系處理,考查學(xué)生的運算能力.通過數(shù)列與幾何問題的綜合,考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問題的能力,探究研究問題的能力,并體現(xiàn)了合理消元,設(shè)而不解的代數(shù)變形的思想.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓E:x2+
y2b2
=1(0<b<1)的左、右焦點,過F1的直線與E相交于A、B兩點,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差數(shù)列
(Ⅰ)求△ABF2的周長;
(Ⅱ)求|AB|的長;
(Ⅲ)若直線的斜率為1,求b的值.

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