【題目】如圖，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面ACC1A1⊥底面ABC，底面ABC是等腰直角三角形，CA=CB，A1B⊥AC1 ．
（1）求證：平面A1BC⊥平面ABC1；
（2）若直線AA1與底面ABC所成的角為60°，求直線AA1與平面ABC1所成角的正弦值．

【答案】
（1）證明：因為底面ABC是等腰直角三角形，CA=CB，所以BC⊥AC

因為側(cè)面ACC1A1⊥底面ABC，側(cè)面ACC1A1∩底面ABC=AC，

所以BC⊥側(cè)面ACC1A1，所以AC1⊥BC，

又A1B⊥AC1，而A1B∩BC=B，

所以AC1⊥面A1BC，

又AC1面ABC1，所以面ABC1⊥面A1BC


（2）解：由題意，∠A1AC=60°，四邊形ACC1A1是菱形．

設(shè)AC=2，則AB=2 ，AC1=2 ，BC1=2 ，∴ = =

設(shè)A1到平面ABC1的距離為h，則 = ，

∴h= ，

∴直線AA1與平面ABC1所成角的正弦值= =


【解析】（1）推導(dǎo)出BC⊥側(cè)面ACC1A1 ， 所以AC1⊥BC，再由A1B⊥AC1 ， 得到AC1⊥面A1BC，由此能證明面ABC1⊥面A1BC．（2）利用等體積方法，求出A1到平面ABC1的距離，即可求直線AA1與平面ABC1所成角的正弦值．
【考點精析】本題主要考查了平面與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識點，需要掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能正確解答此題．

練習(xí)冊系列答案
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【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0），對任意實數(shù)t都有f（2+t）=f（2﹣t）成立，則函數(shù)值f（﹣1），f（1），f（2），f（5）中，最小的一個不可能是（ ）
A.f（﹣1）
B.f（1）
C.f（2）
D.f（5）

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（Ⅰ）求橢圓的方程;

（Ⅱ）設(shè)過點的直線與橢圓相交于兩點,點關(guān)于原點的對稱點為,若點總在以線段為直徑的圓內(nèi),求的取值范圍.

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【題目】從裝有 2個紅球和 2個白球的口袋中任取 2個球，則下列每對事件中，互斥事件的對數(shù)是( )對

（1）“至少有 1個白球”與“都是白球” （2）“至少有 1個白球”與“至少有 1個紅球”

（3）“至少有 1個白球”與“恰有 2個白球” （4）“至少有 1個白球”與“都是紅球”

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

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【題目】直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系的原點與極點重合， 軸正半軸與極軸重合，單位長度相同，在直角坐標(biāo)系下，曲線C的參數(shù)方程為為參數(shù)）。

（1）在極坐標(biāo)系下，曲線C與射線和射線分別交于A，B兩點，求的面積；

（2）在直角坐標(biāo)系下，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），求曲線C與直線的交點坐標(biāo)。

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【題目】隨機抽取某中學(xué)甲、乙兩班各10名同學(xué)，測量他們的身高（單位：cm），獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖7.

（1）根據(jù)莖葉圖判斷哪個班的平均身高較高；

（2）計算甲班的樣本方差；

（3）現(xiàn)從乙班這10名同學(xué)中隨機抽取兩名身高不低于173cm的同學(xué)，求身高為176cm的同學(xué)被抽中的概率。

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【題目】隨著節(jié)假日外出旅游人數(shù)增多，倡導(dǎo)文明旅游的同時，生活垃圾處理也面臨新的挑戰(zhàn)，某海濱城市沿海有三個旅游景點，在岸邊兩地的中點處設(shè)有一個垃圾回收站點（如圖），兩地相距10，從回收站觀望地和地所成的視角為，且，設(shè)；

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（1）若函數(shù)f（x）在R上單調(diào)，且y=f′（x）有零點，求a的值；
（2）若對x∈[0，+∞），有 ≥1，求a的取值范圍．

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