Question

如圖，P是拋物線C：y=

1

2

x²上一點，直線l過點P且與拋物線C交于另一點Q．若直線l與過點P的切線垂直，求線段PQ中點M的軌跡方程．

Answer 1

分析：欲求PQ中點M的軌跡方程，需知P、Q的坐標．思路一，P、Q是直線l與拋物線C的交點，故需求直線l的方程，再與拋物線C的方程聯(lián)立，利用韋達定理、中點坐標公式可求得M的軌跡方程；思路二，設出P、Q的坐標，利用P、Q的坐標滿足拋物線C的方程，代入拋物線C的方程相減得PQ的斜率，利用PQ的斜率就是l的斜率，可求得M的軌跡方程．

解答：解：設P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）、M（x₀，y₀），依題意知x₁≠0，y₁＞0，y₂＞0．
由y=

1

2

x²，①
得y′=x．
∴過點P的切線的斜率k_切=x₁，∴直線l的斜率k_l=-

1

k切

=-

1

x1

，
直線l的方程為y-

1

2

x₁²=-

1

x1

（x-x₁）．②
方法一：聯(lián)立①②消去y，得x²+

2

x1

x-x₁²-2=0．
∵M為PQ的中點，
∴x₀=

x1+x2

2

=-

1

x1

，y₀=

1

2

x₁²-

1

x1

（x₀-x₁）．消去x₁，得y₀=x₀²+

1

2x02

+1（x₀≠0），
∴PQ中點M的軌跡方程為y=x²+

1

2x2

+1（x≠0）．
方法二：由y₁=

1

2

x₁²，y₂=

1

2

x₂²，x₀=

x1+x2

2

，
得y₁-y₂=

1

2

x₁²-

1

2

x₂²=

1

2

（x₁+x₂）（x₁-x₂）=x₀（x₁-x₂），則x₀=

y1-y2

x1-x2

=k_l=-

1

x1

，
∴x₁=-

1

x0

．
將上式代入②并整理，得y₀=x₀²+

1

2x02

+1（x₀≠0），
∴PQ中點M的軌跡方程為y=x²+

1

2x2

+1（x≠0）．

點評：本題考查拋物線的應用，及軌跡方程的求法，關鍵是看清題中給出的條件，靈活運用韋達定理，中點坐標公式進行求解．