Question

已知等差數列{a_n}的公差不為零，若S₁，S₂，S₄成等比數列．
（1）求S₁，S₂，S₄的公比；
（2）若S₂=4，令，求{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

解：（1）設數列{a_n}的公差為d，由題意，得S₂²=S₁•S₄?
所以（2a₁+d）²=a₁（4a₁+6d）
因為d≠0，所以d=2a₁
故S₁，S₂，S₄的公比為；
（2）由（1）可得，又由S₂=4，
則S₁=a₁=1，a₂=4-1=3，
則d=a₂-a₁=3-1=2，則a_n=2n-1，
∴，
S_n=b₁+b₂+…+b_n=×（1-）=，
∴{b_n}的前n項和為．
分析：（1）由若S_n是公差不為0的等差數列{a_n}的前n項和，且S₁，S₂，S₃成等比數列．根據等差數列的前n項和公式，我們易求出基本量（即首項與公差）之間的關系．將基本量代入易得公比；
（2）先求數列的通項，再用裂項法求和即可．
點評：解答特殊數列（等差數列與等比數列）的問題時，根據已知條件構造關于基本量的方程，解方程求出基本量，再根據定義確定數列的通項公式及前n項和公式，然后代入進行運算．屬中檔題．