Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均大于1，前n項(xiàng)和S_n滿足2Sn=

a

2 n

+n-1．
（Ⅰ）求a₁及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記bn=

1

a 2 n -1

，求證：b1+b2+…+bn＜

3

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）n=1時(shí)，由已知條件推導(dǎo)出a₁=2，當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn=

a

2 n

+n-1，2Sn-1=

a

2 n-1

+n-2，兩式相減得（a_n-a_n-1-1）（a_n+a_n-1-1）=0，由此求出a_n=n+1．
（Ⅱ）bn=

1

n2+2n

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，由此利用裂項(xiàng)求和法能證明b1+b2+…+bn＜

3

4

．

解答： （Ⅰ）解：n=1時(shí)，2S1=

a

2 1

，
∵a₁＞1，∴a₁=2…（1分）
當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn=

a

2 n

+n-1①，
2Sn-1=

a

2 n-1

+n-2②
兩式相減得2Sn-2Sn=

a

2 n

-

a

2 n-1

+1，
∴2an=

a

2 n

-

a

2 n-1

+1…（4分）
整理得(an-1)2=

a

2 n-1

，
∴（a_n-a_n-1-1）（a_n+a_n-1-1）=0，
∵a_n＞1，∴a_n+a_n-1-1≠0
∴a_n-a_n-1-1=0（n≥2），…（6分）
∴{a_n}是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列，
∴a_n=n+1…（7分）
（Ⅱ）證明：∵a_n=n+1，
∴bn=

1

n2+2n

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)…（9分）
故b1+b2+…+bn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

n-1

-

1

n+1

)+(

1

n

-

1

n+2

)]…（11分）
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)＜

3

4

．
∴b1+b2+…+bn＜

3

4

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．