Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）定義域?yàn)镽，對(duì)任意x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）•f（y），當(dāng)x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1
（1）求證：f（0）=1，且x＜0時(shí)，f（x）＞1
（2）證明f（x）為R上的減函數(shù)；
（3）設(shè)A={（x，y）|f（x²-y）=f（1）}，B={（x，y）|f（ax-y-2）=1，a∈R}，若A∩B=∅
求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法，令x=1，y=0即可求得f（0）的值；令y=-x，結(jié)合條件當(dāng)x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1，即可得到結(jié)論．
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，設(shè)任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，利用抽象表達(dá)式和已知函數(shù)性質(zhì)證明f（x₁）＞f（x₂），即可得證；
（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，將集合A，B轉(zhuǎn)化為直線和拋物線的相交問題，利用消元法轉(zhuǎn)化為判別式△＜0，進(jìn)行求解即可．

解答 證明：（1）令x=1，y=0，
則f（1+0）=f（1）•f（0）=f（1），
∵當(dāng)x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1
∴f（0）=1，
若x＜0，則-x＞0，0＜f（-x）＜1，
則f（x-x）=f（x）f（-x）=f（0）=1，
∴$f（x）=\frac{1}{f（-x）}$，
∴f（x）＞1，x＜0．
（2）對(duì)任意的x₁，x₂∈R，當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，有f（x₁）-f（x₂）=f[（x₁-x₂）+x₂]-f（x₂）=f（x₂）（f（x₁-x₂）-1），
∵x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，
∴由（1）得f（x₁-x₂）＞1，
即f（x₁-x₂）-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在R上是單調(diào)遞減函數(shù)．
（3）∵f（x）在R上是單調(diào)遞減函數(shù)．f（0）=1，
∴由f（x²-y）=f（1）得，x²-y=1，即x²=1+y，
由f（ax-y-2）=1=f（0），a∈R，
得ax-y-2=0，即y=ax-2，
若A∩B=∅，則直線和拋物線沒有公共點(diǎn)，
則將y=ax-2代入x²=1+y得x²=1+ax-2，
即x²-ax+1=0，
則判別式△=a²-4＜0，
解得-2＜a＜2，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-2，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用賦值法結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算和轉(zhuǎn)化能力．