Question

一個(gè)多面體的直觀圖和三視圖如圖所示
（1）求證：PA⊥BD；
（2）是否在線段PD上存在一Q點(diǎn)，使二面角Q-AC-D的平面角為30°，設(shè)，若存在，求λ；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中的三視圖可知P-ABCD為一個(gè)底面棱長為2，側(cè)高為的正四棱錐，連接連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接PO，由正方形的性質(zhì)及O為頂點(diǎn)在底面上的射影，易結(jié)合線面垂直的判定定理得到BD⊥平面PAC，進(jìn)而由線面垂直的性質(zhì)，得到BD⊥PA；
（2）由AC⊥OQ，AC⊥OD，所以∠DOQ為二面角Q-AC-D的平面角，再根據(jù)二面角Q-AC-D的平面角為30°，我們易求出滿足條件 的DQ的長，進(jìn)而求出λ的值．
解答：證明：（1）由三視圖可知P-ABCD為四棱錐，底面ABCD為正方形，且PA=PB=PC=PD
連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接PO，
因?yàn)锽D⊥AC，BD⊥PO，所以BD⊥平面PAC，
即BD⊥PA；（6分）
解：（2）由三視圖可知，，假設(shè)存在這樣的D點(diǎn)
因?yàn)锳C⊥OQ，AC⊥OD，所以∠DOQ為二面角Q-AC-D的平面角，（8分）
△PDO中，，則∠PDO=60°，△DQO中，∠PDO=60°，且∠QOD=30°．
所以DP⊥OQ，（11分）
=（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，由三視圖還原實(shí)物圖，其中（1）的關(guān)鍵是從已知的三視圖中分析出棱錐的形狀，（2）的關(guān)鍵是找出二面角Q-AC-D的平面角，再根據(jù)已知求出滿足條件的DQ的長．