Question

（文科）已知函數f（x）=x³-3ax-1（a≠0）．
（Ⅰ）求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若a=1，且f（x）-m＜0在[-2，3]上恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求f′（x），依據導數與函數單調性的關系解不等式即可，要分a＜0，a＞0兩種情況討論．
（Ⅱ）當a=1時f（x）可求出，f（x）-m＜0即f（x）＜m在[-2，3]上恒成立可轉化為f（x）在[-2，3]上的最大值小于m，從而可求出m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3x²-3a，
①當a＜0時，f′（x）＞0，f（x）在R上單調遞增；
②當a＞0時，由f′（x）＞0即3x²-3a＞0解得x＜-

a

或x＞

a

，由f′（x）＜0得-

a

＜x＜

a

，
∴f（x）的單調增區(qū)間為（-∞，-

a

）和（

a

，+∞）；f（x）的單調減區(qū)間是（-

a

，

a

）．
（Ⅱ）若a=1，則f（x）=x³-3x-1，
由（Ⅰ）知f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上單調遞增，在（-1，1）上單調遞減，
而f（-1）=1，f（3）=17，∴f（x）在[-2，3]上的最大值是17．
∵f（x）-m＜0即f（x）＜m在[-2，3]上恒成立等價于f（x）在[-2，3]上的最大值小于m．∴17＜m．
故實數m的取值范圍為（17，+∞）．

點評：本題考查了導數的應用：導數與函數單調性的關系．不等式恒成立問題常轉化為函數的最值問題處理．