Question

13．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=$\frac{π}{2}$，AD=2$\sqrt{2}$，AB=3DC=3．
（1）在棱PB上確定一點(diǎn)E，使得CE∥平面PAD；
（2）若PA=PD=$\sqrt{6}$，PB=PC，求直線PA與平面PBC所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）過(guò)C作CF∥AD，交AB于F，過(guò)F作FE∥AP，交PB于E，連接CE，能夠說(shuō)明CE∥平面PAD，這樣便從棱PB上確定了一點(diǎn)E，使得CE∥平面PAD；
（2）取BC中點(diǎn)G，AD中點(diǎn)H，連接PG，GH，PH，能夠說(shuō)明BC⊥平面PGH，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定定理證明PH⊥平面ABCD，這樣便可以三直線HA，HA的垂線，HP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，然后確定圖形上幾點(diǎn)的坐標(biāo)．設(shè)平面PBC的法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=0}\end{array}\right.$即可求出法向量$\overrightarrow{n}$，設(shè)直線PA和平面PBC所成角為θ，則由sinθ=$|cos＜\overrightarrow{PA}，\overrightarrow{n}＞|$即可求得直線PA和平面PBC所成角的大�。�

解答 解：（1）如圖，作CF∥DA，交AB于F；
又AB∥DC；
∴四邊形AFCD為平行四邊形；
∴AF=DC=$\frac{1}{3}AB$；
CF∥DA，DA?平面PAD，CF?平面PAD；
∴CF∥平面PAD；
同理，作FE∥AP，連接CE，則FE∥平面PAD，F(xiàn)E∩CF=F；
∴平面CEF∥平面PAD，CE?平面CEF；
∴CE∥平面PAD，且PE=$\frac{1}{3}PB$；
∴在棱PB上找到了點(diǎn)E，滿足PE=$\frac{1}{3}$PB，使CE∥平面PAD；
（2）分別取BC，AD中點(diǎn)G，H，并連接GH，PG，PH；
∵PB=PC，∴BC⊥PG；
又BC⊥AB，GH∥AB；
∴BC⊥GH，GH∩PG=G；
∴BC⊥平面PGH，PH?平面PGH；
∴BC⊥PH，即PH⊥BC；
又PA=PD，H為AD中點(diǎn)，∴PH⊥AD，AD和BC相交，且都在平面ABCD內(nèi)；
∴PH⊥平面ABCD；
∴分別以HA、HA的垂線、HP三直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則：

A（$\sqrt{2}，0，0$），B（$-\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{3\sqrt{2}}{2}$，0），C（$-\frac{3\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}，0$），D（$-\sqrt{2}$，0，0），P（0，0，2）；
∴$\overrightarrow{PA}=（\sqrt{2}，0，-2）$，$\overrightarrow{PB}=（-\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{3\sqrt{2}}{2}，-2）$，$\overrightarrow{PC}$=（$-\frac{3\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}，-2$）；
設(shè)平面PBC的法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，則：$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{PB}，\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{PC}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=-\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{3\sqrt{2}}{2}y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=-\frac{3\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y-2z=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=-y}\\{z=\sqrt{2}y}\end{array}\right.$，取y=1，則$\overrightarrow{n}=（-1，1，\sqrt{2}）$；
設(shè)直線PA和平面PBC所成角為θ，則：
sinθ=|cos$＜\overrightarrow{PA}，\overrightarrow{n}＞$|=$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{6}•2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴θ=60°；
∴直線PA與平面PBC所成角的大小為60°．

點(diǎn)評(píng) 考查線面平行及面面平行的判定定理，面面平行的性質(zhì)，等腰三角形的中線也是高線，線面垂直的判定定理，線面垂直的性質(zhì)，以及建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求線面角的方法，能求空間點(diǎn)的坐標(biāo)，平面法向量的概念及求法，向量夾角余弦的坐標(biāo)公式．