如圖，在△ABC中，AB=5，點D是BC邊上一點，且∠BAD=60°，∠CAD=45°．
（Ⅰ）若BD=
31
，求AD的長；
（Ⅱ）若CD=4BD，求AC的長．
考點：余弦定理
專題：解三角形
分析：（Ⅰ）在三角形ABD值，利用余弦定理列出關系式，將AB，AD，以及cos∠BAD的值代入即可求出AD的長；
（Ⅱ）在三角形ABD與三角形ADC中，分別利用正弦定理列出關系式，
解答： 解：（Ⅰ）在△ABD中，AB=5，∠BAD=60°，BD=
31
，
由余弦定理得：BD2=AB2+AD2-2AB•ADcos∠BAD，即31=25+AD2-5AD，
解得：AD=6或AD=-1（舍去），
則AD的長為6；
（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理得：
BD
sin∠BAD
=
5
sin∠ADB
，即
BD
sin60°
=
5
sin∠ADB
；
在△ADC中，利用正弦定理得：
DC
sin∠CAD
=
AC
sin∠ADC
，即
DC
sin45°
=
AC
sin∠ADC
，
∵∠ADC=180°-∠ADB，
∴sin∠ADC=sin（180°-∠ADB）=sin∠ADB，
又CD=4BD，兩式相比得：
BD
3
2
•
2
2
4BD
=
5
AC
，
整理得：AC=10
6
．
點評：此題考查了正弦、余弦定理，以及誘導公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，△ABC中，AB=AC=2，BC=2
3
，點D在BC邊上，∠ADC=45°，則AD的長度等于多少？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖過拋物線y2=4x焦點F的直線與拋物線交于A，B兩點，直線AO交拋物線準線于C點．
（1）求證：BC⊥y軸；
（2）求|AB|+|BC|的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

求下列函數(shù)的定義域
（Ⅰ）f（x）=
x-2
x-3
+log3（4-x）；
（Ⅱ）f（x）=
1-(
1
3
)x
-
log2x
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2|x-2|-x+5
（1）求函數(shù)f（x）的最小值m
（2）在（1）的結論下，若不等式|x-a|+|x+2|≥m恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
1
2
，過其右焦點F2作與x軸垂直的直線l與該橢圓交于A、B兩點，與拋物線y2=4x交于C、D兩點，且
AB
=
3
2
4
CD
．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設A（-4，0），過點R（3，0）作與x軸不重合的直線l′交橢圓于P、Q兩點，連接AP、AQ分別交直線x=
16
3
于M、N兩點．試問直線MR、NR的斜率之積是否為定值，若是，求出定值；若不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓C：
x2
4
+
y2
2
=1，Q是橢圓的右準線l上一動點，直線OQ交橢圓C于A、B兩點，圓O：x2+y2=4，QM、QN是圓O的兩條切線，M、N為切點．
（1）求證：直線MN恒過橢圓C的右焦點F；
（2）若點P是橢圓上任意一點，且直線AP、BP的斜率都存在，分別記為k1，k2，探究k1•k2是否為定值？說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，為了測量點A與河流對岸點B之間的距離，在點A同側選取點C，若測得AC=40米，∠BAC=75°，∠ACB=60°，則點A與點B之間的距離等于
 
米．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知∠ABC=60°，P為∠ABC內(nèi)一定點，且點P到邊AB，BC的距離分別為1，2．則P點到頂點B的距離為
 
．

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