Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3-x2+ax+b的圖象在點P（0，f（0））處的切線是3x-y-2=0．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）設(shè)t∈[-2，-1]，函數(shù)g（x）=f（x）+（m-3）x在（t，+∞）上為增函數(shù)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的結(jié)合意義，即可求a、b的值；
（Ⅱ）求得函數(shù)g（x）的解析式，利用函數(shù)在（t，+∞）上為增函數(shù)，可得t²-2t+m≥0在t∈[-2，-1]上恒成立，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x²-2x+a，所以切線的斜率k=f′（0）=a，
又切線方程為3x-y-2=0，故a=3．
∵點P（0，b）在切線上，∴b=-2．…（5分）
（Ⅱ）因為f(x)=

1

3

x3-x2+3x-2，
所以g(x)=

1

3

x3-x2+3x-2+(m-3)x=

1

3

x3-x2+mx-2，
所以g′（x）=x²-2x+m，
又g（x）是（t，+∞）上的增函數(shù)，所以g′（x）≥0在t∈[-2，-1]上恒成立，…（7分）
即t²-2t+m≥0在t∈[-2，-1]上恒成立，
又函數(shù)h（t）=t²-2t+m在t∈[-2，-1]是遞減函數(shù)，
所以h（x）_min=h（-1）=m+3≥0，
所以m≥-3．…（12分）

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．