Question

設(shè)a、b、c都是整數(shù)，過圓x²+y²=（3a+1）²外一點(diǎn)P（b³-b，c³-c）向圓引兩條切線，試證明：過這兩切點(diǎn)的直線上的任意一點(diǎn)都不是格點(diǎn)（所謂格點(diǎn)是指：橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)）．

Answer 1

【答案】分析：由P和原點(diǎn)O的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式求出此中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，得到以O(shè)P為直徑的圓的圓心坐標(biāo)和半徑，寫出以O(shè)P為直徑的圓的方程，記作（1），把已知圓x²+y²=（3a+1）²代入（1），整理后得到（b³-b）x+（c³-c）y=（3a+1）²，即為過P作的兩條切線的方程，假設(shè)此切線方程有格點(diǎn)，把b³-b及c³-c弦利用提取公因式的方法分解因式，再利用平方差公式分解因式后，得到兩式都為三個連續(xù)數(shù)的乘積，顯然能被3整除，可得（3a+1）²能被3整除，即3a+1能被3整除，而3a+1不能被3整除，矛盾，假設(shè)錯誤，故過這兩切點(diǎn)的直線上的任意一點(diǎn)都不是格點(diǎn)，得證．
解答：解：∵P（b³-b，c³-c），O（0，0），
∴線段OP的中點(diǎn)的坐標(biāo)為（（b³-b），（c³-c）），
∴以O(shè)P為直徑的圓的方程為：[x-（b³-b）]²+[y-（c³-c）]²=（b³-b）²+（c³-c）²，（1）
將x²+y²=（3a+1）²代入（1）得：（b³-b）x+（c³-c）y=（3a+1）²，它就是過兩切點(diǎn)的直線方程，
假設(shè)此切線方程存在格點(diǎn)，
由b³-b=b（b-1）（b+1），得到它為三個連續(xù)數(shù)的乘積，顯然能被3整除，
同理，c³-c亦能被3整除，
∴（3a+1）²能被3整除，
∴3a+1也必須能被3整除，
顯然這是不可能的，
則過這兩切點(diǎn)的直線上的任意一點(diǎn)都不是格點(diǎn)．
點(diǎn)評：此題考查了圓的切線方程，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及反證法的運(yùn)用，是一道證明題．其中根據(jù)題意表示出過圓x²+y²=（3a+1）²外一點(diǎn)P（b³-b，c³-c）向圓引兩條切線方程是解本題的關(guān)鍵．