Question

（2013•大連一模）設(shè)離心率e=

1

2

的橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，P是x軸正半軸上一點(diǎn)，以PF₁為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓M短軸端點(diǎn)，且該圓和直線x+

3

y+3=0相切，過(guò)點(diǎn)P的直線與橢圓M相交于相異兩點(diǎn)A、C．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）若相異兩點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，直線BC交x軸與點(diǎn)Q，求

QA

•

QC

的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)以|PF₁|為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓M短軸端點(diǎn)N，則|NF₁|=a，由e=

1

2

可得a=2c，由此可得∠NF1P=

π

3

，再由|PF₁|的長(zhǎng)可判斷F₂為圓的圓心，根據(jù)圓與直線x+

3

y+3=0相切，可解得c值，從而可求得a，b；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），易知點(diǎn)B（x₁，-y₁），設(shè)直線PA的方程為y=k（x-3），代入橢圓方程消掉y得x的二次方程，由△＞0得k²范圍，由點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線BC的方程，令y=0，由韋達(dá)定理可得Q點(diǎn)橫坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積運(yùn)算及韋達(dá)定理可把

QA

•

QC

表示為k的函數(shù)，由k²的范圍即可求得

QA

•

QC

的范圍；

解答：解：（Ⅰ）設(shè)以|PF₁|為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓M短軸端點(diǎn)N，
∴|NF₁|=a，∵e=

1

2

，∴a=2c，
∴∠NF1P=

π

3

，|PF₁|=2a．
∴F₂（c，0）是以|PF₁|為直徑的圓的圓心，
∵該圓和直線x+

3

y+3=0相切，
∴2c=

|c+3|

1+( 3 )2

，解得c=1，a=2，b=

3

，
∴橢圓M的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則點(diǎn)B（x₁，-y₁），
設(shè)直線PA的方程為y=k（x-3），
聯(lián)立方程組

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-3).

，消掉y，化簡(jiǎn)整理得（4k²+3）x²-24k²x+36k²-12=0，
由△=（24k²）²-4•（3+4k²）•（36k²-12）＞0，得0＜k2＜

3

5

．
則x1+x2=

24k2

4k2+3

，x1x2=

36k2-12

4k2+3

．
直線BC的方程為：y+y1=

y2+y1

x2-x1

(x-x1)，
令y=0，則x=

y1x2+y2x1

y1+y2

=

2x1x2-3(x1+x2)

x1+x2-6

=

72k2-24 4k2+3 - 72k2 4k2+3

24k2 4k2+3 -6

=

4

3

．
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為(

4

3

，0)．

QA

•

QC

=(x1-

4

3

)(x2-

4

3

)+y1y2=(x1-

4

3

)(x2-

4

3

)+k2(x1-3)(x2-3)
=(1+k2)x1x2-(3k2+

4

3

)(x1+x2)+9k2+

16

9

=(1+k2)•

36k2-12

4k2+3

-(3k2+

4

3

)•

24k2

4k2+3

+9k2+

16

9

=

19k2-12

4k2+3

+

16

9

=

235

36

-

105

16k2+12

．
∵0＜k2＜

3

5

，
∴

QA

•

QC

∈(-

20

9

，

5

3

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線、橢圓方程及其位置關(guān)系，考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查函數(shù)思想，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，綜合性強(qiáng)，難度較大，對(duì)能力要求較高．