Question

在平面直角坐標系中，點P到兩點（0，

3

），（0，-

3

）的距離之和等于4，設(shè)點P的軌跡為C，直線y=kx+1與C交于點A、B．
（1）寫出C的方程；
（2）若

OA

•

OB

＞-1，求k的取值范圍；
（3）若點A在第一象限，證明：當k＞0時，恒有|

OA

|＞|

OB

|．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）動點P到兩點（0，

3

），（0，-

3

）的距離之和等于4，由橢圓的定義知此動點的軌跡應為橢圓，從而可得動點的軌跡方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由以AB為直徑的圓過原點0，可得OA⊥OB，從而x₁x₂+y₁y₂=0，將直線y=kx+l代入橢圓方程，消元可得一元二次方程，利用韋達定理，即可求k的值；
（3）用坐標表示出|

OA

|²-|

OB

|²，利用點A在第一象限，k＞0，即可證得結(jié)論．

解答： （1）解：設(shè)P（x，y），
∵動點P到兩點（0，

3

），（0，-

3

）的距離之和等于4
∴由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以（0，

3

），（0，-

3

）為焦點，長半軸為2的橢圓．它的短半軸b=1，
故曲線C的方程為x2+

y2

4

=1．
（2）解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由以AB為直徑的圓過原點0，可得OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0
將直線y=kx+l代入橢圓方程，消元可得（4+k²）x²+2kx-3=0
∴x₁+x₂=-

2k

4+k2

，x₁x₂=-

3

4+k2

∴y₁y₂=（kx₁+l）（kx₂+l）=

4-4k2

4+k2

∴-

3

4+k2

+

4-4k2

4+k2

=0
∴k=±

1

2

；
（3）證明：|

OA

|²-|

OB

|²=x₁²-x₂²+y₁²-y₂²=

6k(x1-x2)

4+k2

∵點A在第一象限，∴x₁＞0
∵x₁x₂=-

3

4+k2

，∴x₂＜0
∴x₁-x₂＞0
∵k＞0，∴

6k(x1-x2)

4+k2

＞0，
∴恒有|OA|＞|OB|．

點評：本題考查了利用定義法求動點的軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查不等式的證明，關(guān)鍵要理解好橢圓定義的條件，正確運用韋達定理進行解題．