已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左焦點F為圓x2+y2+2x=0的圓心，且橢圓上的點到點F的距離最小值為
2
-1．
（I）求橢圓方程；
（II）已知經(jīng)過點F的動直線l與橢圓交于不同的兩點A、B，點M（-
5
4
，0），證明：
MA
•
MB
為定值．
（I）∵圓x2+y2+2x=0的圓心為（-1，0），依據(jù)題意c=1，a-c=
2
-1，∴a=
2
．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：
x2
2
+y2=1；
（II）①當(dāng)直線L與x軸垂直時，L的方程是：x=-1，
 得A（-1，
2
2
），B（-1，-
2
2
），
MA
•
MB
=（
1
4
，
2
2
）•（
1
4
，-
2
2
）=-
7
16
．

②當(dāng)直線L與x軸不垂直時，設(shè)直線L的方程為 y=k（x+1）
y=k(x+1)
x2
2
+y2=1
?（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0，
 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1x2=
2k2-2
1+2k2
，x1+x2=-
4k2
1+2k2
，
MA
•
MB 
=（x1+
5
4
，y1）•（x2+
5
4
，y2）=x1x2+
5
4
（x1+x2）+
25
16
+k2（x1x2+x1+x2+1）
=（1+k2）x1x2+（k2+
5
4
）（x1+x2）+k2+
25
16
=（1+k2）（
2k2-2
1+2k2
）+（k2+
5
4
）（-
4k2
1+2k2
）+k2+
25
16

=
-4k2-2
1+2k2
+
25
16
=-2+
25
16
=-
7
16

綜上
MA
•
MB
為定值-
7
16
．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，左頂點為A，若|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
1
2

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點，求
PF1
•
PA
的取值范圍
（III）直線l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點M，N（均不是長軸的頂點），AH⊥MN垂足為H且
AH
2=
MH
•
HN
，求證：直線l恒過定點．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點F（-c，0）是長軸的一個四等分點，點A、B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點，記直線AD、BC的斜率分別為k1，k2
（1）當(dāng)點D到兩焦點的距離之和為4，直線l⊥x軸時，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率是
3
2
，且經(jīng)過點M（2，1），直線y=
1
2
x+m(m＜0)與橢圓相交于A，B兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)m=-1時，求△MAB的面積；
（3）求△MAB的內(nèi)心的橫坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•威海二模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
6
3
，過右焦點做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點，且兩交點與橢圓的左焦點及右頂點構(gòu)成的四邊形面積為
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)點M（0，2），直線l：y=1，過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點，若N為AB的中點，D為N在直線l上的射影，AB的中垂線與y軸交于點P．求證：
ND
•
MP
AB
2
為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點為F，過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點，若|MN|=3，且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根，求橢圓方程．

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同步練習(xí)冊答案