Question

18．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1+a_n=2n+3．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）求a_n的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系式逐步求解即可．
（2）方法一：猜想通項(xiàng)公式，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．
方法二：利用遞推關(guān)系式，逐步代換求解即可；
方法三：圖象數(shù)列偶數(shù)項(xiàng)是等差數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)是等差數(shù)列，分別求解通項(xiàng)公式即可．

解答 解：（1）a₁=2，a_n+1+a_n=2n+3，a₂=3，a₃=4，a₄=5；
（2）方法一：猜想a_n的表達(dá)式為：${a_n}=n+1（{n∈{N^*}}）$，
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①a₁=2，猜想成立；
②假設(shè)n=k（k∈N^*）時(shí)，a_k=k+1，則a_k+1=-a_k+2k+3=-（k+1）+2k+3=（k+1）+1，即n=k+1時(shí)猜想成立，
綜合①②，由數(shù)學(xué)歸納法原理知：${a_n}=n+1（{n∈{N^*}}）$…（12分）
方法二：由a_n+1+a_n=2n+3得：${a_{n+1}}-（{n+2}）=-[{{a_n}-（{n+1}）}]=…={（{-1}）^n}（{{a_1}-2}）=0$，
所以：${a_n}=n+1（{n∈{N^*}}）$…（12分）
方法三：由a_n+1+a_n=2n+3得：a_n+2+a_n+1=2n+5，兩式作差得：a_n+2-a_n=2，
于是a₁，a₃，a₅，…是首項(xiàng)a₁=2，公差為2的等差數(shù)列，那么${a_{2k-1}}=2k（{k∈{N^*}}）$，
且a₂，a₄，a₆，…是首項(xiàng)a₂=3，公差為2的等差數(shù)列，那么${a_{2k}}=2k+1（{k∈{N^*}}）$，
綜上可知：${a_n}=n+1（{n∈{N^*}}）$…（12分）

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．