Question

如圖所示．△ABC中，∠B=90°，M為AB上一點，使得AM=BC，N為BC上一點，
使得CN=BM，連AN，CM交于P點．求∠APM的度數(shù)．

Answer 1

考點：相似三角形的性質(zhì)

專題：立體幾何

分析：可過A作AB的垂線，在其上截取AK=CN=MB，連KM，KC，得△KAM≌△MBC，進而由題中條件得出△KMC為等腰直角三角形，再證△AKC≌△CAN，得出∠KCA=∠NAC，即KC∥AN，進而可將∠APM轉(zhuǎn)化為∠KCM求解．

解答： 解：如圖，過A作AB的垂線，在其上截取AK=CN=MB，連KM，KC，則
因為AM=BC，AK=BM，∠KAM=∠B=90°，
所以△KAM≌△MBC，
所以KM=CM，∠AMK=∠MCB
因為∠CMB+∠MCB=90°，
所以∠CMB+∠AMK=90°
所以∠KMC=90°
所以△KMC為等腰直角三角形，∠MCK=45°
又因為∠KAM=∠B=90°，AK=CN，
所以AK∥CN，
所以四邊形ANCK是平行四邊形，
所以KC∥AN，
所以∠APM=∠KCM=45°．

點評：本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)等問題，能夠通過作輔助線在圖形之間建立聯(lián)系，進而輔助解題．