Question

7．過拋物線y²=2px（p＞0）的頂點作互相垂直的兩條直線分別交拋物線于A、B兩點．
（1）求證：直線AB恒過定點；
（2）過原點O作0H垂直于AB，H為垂足，求點H的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A（2pt₁²，2pt₁），B（2pt₂²，2pt₂）．由OA⊥OB，利用斜率計算公式可得k_OA•k_OB=-1，得出t₁t₂=-1．
又k_AB=$\frac{1}{{t}_{1}+{t}_{2}}$，即可得出直線AB的方程，利用直線系即可得出．
（2）確定點H的軌跡是以O(shè)M為直徑的圓（不含原點O），即可求點H的軌跡方程．

解答 （1）證明：設(shè)A（2pt₁²，2pt₁），B（2pt₂²，2pt₂）．
由OA⊥OB，得$\frac{2p{t}_{1}}{2p{{t}_{1}}^{2}}$•$\frac{2p{t}_{2}}{2p{{t}_{2}}^{2}}$=-1，得出t₁t₂=-1．
∴k_AB=$\frac{1}{{t}_{1}+{t}_{2}}$．
得直線AB的方程：y-2pt₁=$\frac{1}{{t}_{1}+{t}_{2}}$（x-2pt₁²）．
即x-（t₁+t₂）y-2p=0．
令y=0，解得x=2p．
∴直線AB恒過定點（2p，0）．
（2）解：∵直線AB恒過定點M（2p，0），過原點O作0H垂直于AB，H為垂足，
∴點H的軌跡是以O(shè)M為直徑的圓（不含原點O），
∴點H的軌跡方程為（x-p）²+y²=p²（x≠0）．

點評 熟練掌握拋物線的性質(zhì)、斜率計算公式、直線方程、直線系等是解題的關(guān)鍵．