Question

已知函數(shù)f（x）=x（1-x）²．
（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）求實數(shù)a，b的值，使在區(qū)間[a，b]上的值域也為[a，b]；．
（3）是否存在區(qū)間[a，0]，使f（x）在區(qū)間[a，0]上的值域為[ka，0]，且使k的值最小？若存在，求出k的最小值及此時a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）對于三次函數(shù)：“f（x）=x（1-x）²．的極值問題利用其導(dǎo)數(shù)解決；
（2）三次函數(shù)的值域問題，往往轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)的問題，須針對最大值b與最小值a的取值情況進行討論；
（3）對于存在性問題，先假設(shè)存在，然后轉(zhuǎn)化為“封閉型”問題求解判斷，若不出現(xiàn)矛盾，則肯定存在；若出現(xiàn)矛盾，則否定存在．

解答：解：（1）f（x）=x³-2x²+x，則f'（x）=3x²-4x+1（1分）
令f'（x）=0解得：x1=-1，x2=-

1

3

，（2分）

∴f（x）的極大值為f（-1）=0，極小值為f(-

1

3

)=-

4

27

（4分）
（2）若最大值b與最小值a均在端點處取得，則有

f(a)=a f(b)=b.

或

f(a)=b f(b)=a.

（5分）
①當(dāng)

f(a)=a f(b)=b.

時，則a，b即為方程f（x）=x的解，解得x₁=0，x₂=-2．
當(dāng)-2≤x≤0時，-2≤f（x）≤0，檢驗知符合題意（6分）
②當(dāng)

f(a)=b f(b)=a.

時，則有

a3+2a2+a=b b3+2b2+b=a.

相減得：（a-b）[a²+（b+2）a+（b²+2b+2）]=0．
又a≠b，而方程a²+（b+2）a+（b²+2b+2）=0中△=(b+2)2-4(b2+2b+2)=-3(b+

2

3

)2-

8

3

＜0，方程無解，故此時a，b不存在．
（8分）
若最大值b在區(qū)間（a，b）內(nèi)取得，則b必為f（x）的極大值0，但b=0時f（b）=b，矛盾．
若最小值a在區(qū)間（a，b）內(nèi)取得，則a必為f（x）的極小值-

4

27

，但f（x）在區(qū)間[-

4

27

，+∞)上單調(diào)遞增，必有f（a）=a，矛盾．
綜上得：a=-2，b=0（10分）
（3）易知k＞0，f(-

4

3

)=-

4

27

．
若f（a）=ka，則a（1+a）²=ka即k=（1+a）²，而此時a≤-

4

3

或-

1

3

≤a＜0．
當(dāng)-

1

3

≤a＜0時，k=(1+a)2∈[

4

9

，1)，此時k有最小值為

4

9

．
當(dāng)a≤-

4

3

時，k=(1+a)2∈[

1

9

，+∞)，此時k有最小值

1

9

（12分）
若最小值ka在區(qū)間（a，0）內(nèi)取得，則ka必為f（x）的極小值，即ka=-

4

27

，而此時-

4

3

＜a＜-

1

3

，∴

1

9

＜k＜

4

9

．
綜上得：k的最小值為

1

9

，此時a=-

4

3

（14分）

點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，最值問題，以及存在性問題的解決方法，對于存在判斷型問題，解題的策略一般為先假設(shè)存在，然后轉(zhuǎn)化為“封閉型”問題求解判斷，若不出現(xiàn)矛盾，則肯定存在；若出現(xiàn)矛盾，則否定存在．這是一種最常用也是最基本的方法．