Question

如圖，三棱臺(tái)ABC-DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC．
（Ⅰ）設(shè)平面AEC∩平面DEF=a，求證DF∥a； 
（Ⅱ）若EF=CF=2BC，試同在線段BE上是否存在點(diǎn)G，使得平面DFG⊥平面CDE，若存在，請(qǐng)確定G點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì),直線與平面平行的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由已知條件得AC∥DF，所以DF∥平面ACE，由此能證明DF∥a．
（Ⅱ）線段BE上存在點(diǎn)G，且BG=

1

3

BE，使得平面DFG⊥平面CDE．利用三角形全等和三角形相似進(jìn)行證明．

解答： （Ⅰ）證明：在三棱臺(tái)ABC-DEF中，AC∥DF，
∵AC?平面ACE，DF?平面ACE，
∴DF∥平面ACE，
∵DF?平面DEF，平面ACE∩平面DEF=a，
∴DF∥a．
（Ⅱ）解：線段BE上存在點(diǎn)G，且BG=

1

3

BE，使得平面DFG⊥平面CDE，
證明如下：
取CE中點(diǎn)O，連結(jié)FO并延長交BE于點(diǎn)G，連結(jié)GD、GF，
∵CF=EF，∴GF⊥CE，
在三棱臺(tái)ABC-DEF中，AB⊥BC，∴DE⊥EF，
由CF⊥平面DEF，得CF⊥DE，又CF∩EF=F，
∴DE⊥平面DEF，∴DE⊥GF，
∵GF⊥CE，GF⊥DE，CE∩DE=E，∴GF⊥平面CDE，
又GF?平面DFG，∴平面DFG⊥平面CDE，
此時(shí)，如平面圖所示，∵O為CE中點(diǎn)，CF=EF=2BC，
由平面幾何知識(shí)，得△HOC≌△FOE，
∴HB=BC=

1

2

EF，
由△HGB∽△FOE，得

BG

GE

=

1

2

，
∴BG=

1

3

BE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與直線垂直的證明，考查使得面面垂直的點(diǎn)是否存在的判斷與證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．